МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

 

3. Описание пассивных R, C, L-цепей, исследуемых в работе. Основные соотношения в цепях.

 

3.1. Интегрирующая цепь RC (фильтр нижних частот).

 

Схема цепи, выполняющая при определенных значениях своих элементов функцию интегрирования входного напряжения, изображена на рисунке 23. Здесь входной сигнал поступает через резистор R₁ на конденсатор С₁, параллельно которому подключено нагрузочное сопротивление R_Н,

Рис. 23

Рассмотрим свойства цепи в частотной области, полагая R_Н=∞ (это условие не нарушает физических основ работы цепи). Основываясь на ранее введенных понятиях и определениях, найдем значение комплексного коэффициента передачи:

(62)

где τ=R₁C₁ – постоянная времени цепи.

(63)

– это модуль коэффициента передачи (АЧХ).

(64)–

– фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ).

 

 

Рис. 24

Приведенные соотношения иллюстрируются графиками рисунка 24. С ростом частоты входного сигнала коэффициент передачи цепи уменьшается, стремясь к нулевому значению. С этой точки зрения цепь может рассматриваться как фильтр низших частот.

Фаза выходного сигнала изменяется при этом от нуля до девяноста градусов.

Из формулы (63) определяется значение верхней граничной частоты:

(65)

Интегрирующие свойства цепи проявляются в полной мере, если выполняется неравенство

ωR₁C₁>>1. (66)

В этом случае ток в цепи будет определяться главным образом величиной резистор R₁. Поскольку напряжение на емкости равно интегралу от тока через емкость, то справедлива формула:

(67)

Интегрирующие свойства рассматриваемой цепи сохраняются и при подключении нагрузочного резистора R_Н, если в уравнении (66) заменить сопротивление R₁ эквивалентным сопротивлением R_ЭКВ=R₁║R_Н.

Найдем переходную характеристику цепи, определяющую ее свойства во временной области. Из уравнения (60) следует изображение переходной характеристики:

(68)

Оригиналом этого операторного изображения является функция времени:

(69)

 

График переходной характеристики изображен на рис. 25 и представляет собой нарастающую экспоненциальную функцию, стремящуюся к единичному значению с некоторым временем нарастания t_ф (фронт нарастания), определяемым временем изменения выходного напряжения от 0.1 до 0.9 своего максимального значения. Из формулы (69) следует:

(70)

Сопоставляя (65) и (70), легко увидеть связь между фронтом нарастания и верхней граничной частотой:

(71)

 

Чем меньшей требуется длительность нарастания импульсного перепада, тем более высокой должно быть значение высшей граничной частоты. Это наглядно иллюстрируется диаграммами рис. 26, построенных в условиях подачи на вход цепи последовательности прямоугольных импульсов пульсов с различным соотношением между длительностью импульса и значением постоянной времени. По мере уменьшения отношения длительности импульса к постоянной времени выходное напряжение приобретает все более сглаженный вид, подчеркивая тем самым фильтрующие свойства цепи с точки зрения выделения низкочастотных составляющих входного напряжения в нагрузке и подавления высоко-частотных составляющих.

Рис. 25
	Рис. 26

 

3.2. Дифференцирующая RC-цепь (фильтр высших частот).

 

Дифференцирующая цепь (называемая также ускоряющей цепочкой) изображена на рисунке 27 и представляет собой последовательное соединение конденсатора С₁ и нагрузки, представляющей в общем случае параллельное соединение резистора R₁ и емкости С_Н, которую можно рассматривать как паразитную.

Рис. 27

Рассмотрим частотные зависимости в цепи, полагая С_Н=0. Выражение комплексного коэффициента передачи имеет следующий вид:

(72)

где τ_н=R₁C₁ – постоянная времени цепи, характеризующая свойства цепи в области нижних частот.

– модуль коэффициента передачи (АЧХ) (73)

фазо-частотная характеристика цепи (ФЧХ) (74)

Приведенные зависимости отражены на рисунке 28. АЧХ рассматриваемой цепи имеет нарастающий характер по мере роста частоты входного сигнала, стремясь к максимальному значению, равному единице. На частоте ω_н, называемой низшей граничной частотой, коэффициент передачи достигает значения в раз меньшего своего максимального значения.

Рис. 28

Из формулы (73) следует:

(75)

ФЧХ характеризуется максимальным фазовым сдвигом π/2 на близких к нулю частотах входного сигнала. С ростом частоты входного сигнала фазовый сдвиг выходного напряжения стремится к нулю.

Переходная характеристика цепи находится из уравнения (61):

– изображение переходной характеристики (76)

– оригинал переходной характеристики (77)

График переходной характеристики показан на рисунке 29. Он представляет собой затухающую экспоненциальную функцию, в которой скорость затухания определяется постоянной времени τ_н. За некоторое время t_и амплитудное значение переходной характеристики уменьшается на величину, равную

(78)

Формула (78) упрощается, если выполнить условие t_и<<τ_н:

(79)

 

Рис. 29

Это выражение называют относительным спадом плоской вершины выходного импульсного перепада, справедливым, очевидно и при произвольной амплитуде “А” перепада. Выраженное в процентах это отношение:

(80)

является показателем искажений импульсного перепада при прохождении его через дифференцирующую RC- цепь.

Сопоставляя выражения (75), (80) легко установить связь между нижней граничной частотой ω_н и величиной спада амплитуды выходного импульса:

(81)

Зависимость качества передачи импульсного перепада от соотношения между длительностью одиночного импульса и постоянной времени τ_н=R₁C₁ наглядно иллюстрируется рис. 30. При больших значениях постоянной времени степень искажения выходного импульса минимальна и определяется формулой (80); при близких значениях величина спада составляет примерно одну треть от максимального значения; и, наконец, при условии τ_н<<t_и выходное напряжение приобретает форму коротких экспоненциально спадающих знако-переменных импульсов с длительностью импульса t_ивых≈3R₁C₁.

Последнее условие в наибольшей степени характеризует рассматриваемую цепь, как цепь, обладающую свойством преобразования функции входного сигнала в его производную.

Рис. 30

Для доказательства положим, что входной сигнал представляет сложную периодическую функцию, в которой содержится ряд гармоник с частотами, кратными основной частоте сигнала. Если для гармоники самой низкой частоты выполняется условие R₁<<1/(ωC₁), то ток, протекающий в цепи, будет практически зависеть только от емкостного сопротивления:

(82)

Выходное напряжение при этом оказывается равным:

(83)

то есть величиной, пропорциональной производной от входного напряжения.

Что касается влияния емкости С_Н на характер частотных и временных зависимостей в рассматриваемой цепочке, то следует отметить следующее. При идеальном источнике ЭДС на входе качественный характер этих зависимостей сохранится, а формулы (72)…(83) сохранят свой вид, если в расчетной схеме рисунка 27 положить С_Н=0 и осуществить замену: . Приведенные соотношения вытекают из теоремы об эквивалентном генераторе.

 

3.3. Компенсированный делитель напряжения.

 

При высоких значениях измеряемых напряжений применяются делители напряжения, состоящие в общем случае из нескольких последовательно включенных резисторов, шунтированных конденсаторами. Пример такого двухзвенного делителя напряжения приведен на рисунке 31. Емкость С₂ является емкостью нагрузки и существенно влияет на качество воспроизведения формы входного сигнала на выходе цепочки, особенно при передаче сигналов высокой частоты или импульсных перепадов (эффект интегрирующего звена).

Рис. 31 Для компенсации искажений выходного напряжения верхнее плечо делителя R₁ шунтировано конденсатором С₁, ускоряющим процесс передачи входного сигнала (эффект ускоряющего звена). Комплексный коэффициент передачи рассматриваемого звена имеет следующий вид;

(84)

где τ₁=R₁C₁, τ₂=R₂C₂.

Из полученного соотношения следует, что при выполнении равенства τ₁= τ₂ коэффициент передачи принимает чисто вещественное значение, равное:

(85)

что и свидетельствует об идеальности функции передачи цепи, не зависящей от частоты и скорости передаваемого сигнала. Это же иллюстрируется рисунком 32, где показано влияние соотношений между элементами цепи на характер прохождения одиночного импульса через компенсированный делитель.

Рис. 32 При равенстве постоянных времени форма выходного импульса идеально совпадает с формой входного. В противном случае возникает эффект перекомпенсации или недокомпенсации, находящий отражение на участках быстрых перепадов входного напряжения. На амплитудно – частотной зависимости коэффициент передачи делителя будет иметь соответственно подъем в области высоких и низких частот по сравнению с коэффициентом передачи в области средних частот.

 

3.4. Резонансный LC-контур.

 

Рассмотрим цепь (рис. 33), включающую в себя параллельный резонансный LC-контур, к которому подключен источник тока с внутренним сопротивлением R. Последовательно с индуктивностью включено сопротивление r, имитирующее потери в контуре.

Амплитудно-частотная характеристика (рис. 34) рассматриваемой цепи в существенной степени определяется элементами резонансного контура, эквивалентное сопротивление которого описывается уравнением:

(86)

 

Рис. 33 Рис. 34

При малых значениях сопротивления r, что характерно в практическом применении контура, выражение (86) приводится к виду:

= (87)

где – собственная резонансная частота контура;

– добротность контура;

Δω – отклонение частоты входного сигнала от резонансного значения

2Δω₀ – полоса пропускания контура, диапазон частот, в пределах которого максимальное сопротивление контура R₀ на резонансной частоте уменьшается в корень из двух раз.

Модуль комплексного сопротивления Z_K определяется из выражения (87), а его зависимость от частоты входного сигнала показана на рисунке 34. Чем больше добротность контура, тем уже полоса пропускания и тем заметнее подчеркиваются его избирательные свойства.

При анализе передаточных свойств схемы рис. 33 следует учитывать неидеальность источника тока, поскольку контур шунтирован внутренним сопротивлением источника тока R (а в общем случае и сопротивлением нагрузки). В этом случае эквивалентное входное сопротивление относительно выходных зажимов идеального источника тока принимает следующий вид:

(88)

Из формулы следует, что учет сопротивления R уменьшает эквивалентную добротность резонансной цепи, которая оказывается равной:

(89)

а также модуль эквивалентного сопротивления. Следовательно, можно говорить об ухудшении резонансных свойств схемы, вызванных дополнительной нагрузкой на контур.

 

1. Программа выполнения лабораторной работы.

 

4.1. Предварительная подготовка к выполнению лабораторной работы.

4.1.1. Изучить учебные материалы, изложенные в теоритическом пособии и лекционном курсе, посвященных вопросам построения простых R, L, C – цепей, анализу их свойств и свойствам их компонентов.

4.1.2. Провести расчет рассматриваемых цепей при заданных исходных данных, приведенных в таблице 1.

 

Таблица 1

Схема	Исходные данные	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
Рис. 23	fв[Гц]
RН[Ом]
UВХ[В]
UВЫХ[В], f=0
Рис. 27	fн[Гц]
R1[Ом]
UВЫХ[В], f=∞
СН
Рис. 31	UВХ[В]
UВЫХ[В]
R2[Ом]
С2[пФ]
Рис. 33	f0[Гц]
Q
r[Ом]
QЭ
UВЫХ[В]

 

В процессе выполнения задания необходимо рассчитать значения:

для схемы рисунка 23: R₁, С₁; для схемы рисунка 27: C₁, U_ВХ;

для схемы рисунка 31: C₁. R₁; для схемы рисунка 33: L, C, I.

 

4.2. Экспериментальное исследование свойств интегрирующего звена.

4.2.1. Собрать схему интегрирующего звена (рис. 23) на рабочем столе лабораторного стенда NI ELVIS II+, используя ранее рассчитанные значения элементов цепи.

4.2.2. Снять АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи, определить значения высшей граничной частоты, используя виртуальные измерительные приборы лабораторного стенда.

4.2.3. Исследовать влияние значений элементов цепи на ход АЧХ цепи.

4.2.4. При исходных значениях элементов цепи рассчитать значение С₁, обеспечивающее получение f_в=40 кГц. Подать на вход цепи последовательность положительных прямоугольных импульсов с амплитудой 5 В, частотой следования f, принимающую значения 20, 40, 80 кГц. В этих условиях снять диаграммы выходного напряжения, совместив их с диаграммами входного, и измерить параметры выходных импульсов.

 

4.3. Экспериментальное исследование свойств дифференцирующего звена.

4.3.1. Собрать схему дифференцирующего звена (рис. 27) на рабочем столе лабораторного стенда NI ELVIS II+, используя ранее рассчитанные значения элементов цепи.

4.3.2. Снять АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи, определить значения низшей граничной частоты, используя виртуальные измерительные приборы лабораторного стенда.

4.3.3. Исследовать влияние значений элементов цепи на ход АЧХ цепи.

4.3.4. При исходных значениях элементов цепи рассчитать значение С₁, обеспечивающее получение f_н=4 кГц. Подать на вход цепи последовательность положительных прямоугольных импульсов с амплитудой 5 В, частотой следования f, принимающую значения 2, 4, 8 кГц. В этих условиях снять диаграммы выходного напряжения, совместив их с диаграммами входного, и измерить параметры выходных импульсов.

 

4.4. Экспериментальное исследование компенсированного делителя напряжения.

4.4.1. В программе схемотехнического моделирования NI MULTISIM 12 собрать схему компенсированного делителя напряжения (рис. 31), используя ранее рассчитанные значения элементов цепи.

4.4.2. Снять АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи.

4.4.3. Исследовать влияние значений элементов цепи на ход частотных зависимостей цепи.

4.4.4. Подать на вход цепи последовательность положительных прямоугольных импульсов с амплитудой 5 В и частотой следования f=5 кГц. Снять диаграмму выходного напряжения при τ₁ = τ₂, τ₁ < τ₂, τ₁ > τ₂, совместив их с диаграммой входного, и измерить параметры выходных импульсов.

 

4.5. Экспериментальное исследование свойств колебательного LC- контура.

4.5.1. В программе схемотехнического моделирования NI MULTISIM 12 собрать схему колебательного LC- контура (рис. 33), используя ранее рассчитанные значения элементов цепи.

4.5.2. Снять АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи.

4.5.3. Исследовать влияние значений элементов цепи на ход частотных зависимостей цепи.

4.5.4. Подать на вход цепи последовательность положительных прямоугольных импульсов с амплитудой 5 В и частотой следования f=f₀. Снять диаграмму выходного напряжения, совместив ее с диаграммой входного, и измерить его параметры.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дайте определение комплексного коэффициента передачи, АЧХ, ФЧХ, переходной характеристики цепи h(t), импульсной характеристики g(t).

2. Дайте определение полосы пропускания и граничных частот АЧХ рассматриваемых в работе R, L, C цепей.

3. Поясните методику анализа установившегося и переходного процесса в электронной цепи.

4. Напишите соотношения, определяющие свойства рассматриваемых цепей в частотной и временной областях.

5. Какая связь между временными и частотными искажениями в интегрирующем и дифференцирующим звеньях?

6. Каким условиям должны удовлетворять параметры интегрирующего и дифференцирующего звеньев для реализации функций интегрирования и дифференцирования?

7. Назовите основные параметры параллельного колебательного контура. Как определяются его резонансная частота и добротность?

8. Поясните принцип построения компенсированного делителя напряжения. При каких условиях сохраняется форма передаваемого сигнала на выходе делителя напряжения?

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. У. Титце, К. Шенк. Полупроводниковая схемотехника. Справочное руководство, Пер. с нем. М., 2008г., 512с

2. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. Пер. с англ. – М.: Мир, 1986г. – 598с.

3. Я. Н. Игнатов и др. Классическая электроника и наноэлектроника. Уч. Пособие. – М.: Флинта: Наука, 2009. – 728 с.

4. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы, учебник. – М.; Высш. шк., 2007.

5. Подъяков Е. А., Орлик В. В. Электронные цепи и микросхемотехника. Ч 4. Импульсные и цифровые устройства: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд- во НГТУ, 2005.

6. Подъяков Е. А., Орлик В. В. Электронные цепи и микросхемотехника: учеб. пособие. Ч 5. – Новосибирск: Изд- во НГТУ, 2009. – 152 с.

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН