Пример 3. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса, выделив базисные неизвестные, и одно частное решение.

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса, выделив базисные неизвестные, и одно частное решение.

Решение

Проведем элементарные преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

+

+

+

×(-2) ×(-2) ×(-3)

+

+

×1 ×(-1)

~ ~ ~

~ .

Из последней ступенчатой системы видно, что ранг матрицы системы равен , ранг расширенной матрицы равен , а количество переменных равно , так как , то система совместна и неопределена.

Количество базисных переменных равно . В качестве главных переменных можно выбрать , и , соответствующие столбцам ненулевого минора третьего порядка: , в качестве свободных переменных – и .

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Из третьего уравнения выражаем через , получим: . Подставляя это выражение во второе уравнение, получим: . Подставляя выражения для и в первое уравнение, получим: . Обозначив , а получим общее решение системы

Придавая свободным переменным любые значения, будем получать частные решения системы. Частным решением системы будет являться решение .

Вопросы для защиты работы

1. Однородные и неоднородные системы.

2. Совместные и несовместные системы.

3. Что называется решением системы?

4. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

5. Что означает «исследовать систему уравнений»?

6. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений, если ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы равны нулю?

7. Фундаментальная система решений?