ОЦЕНКА КАЧЕСТВА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

 

Качество модели регрессии проверяется на основе анализа остатков регрессии ε. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод опенки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые (в действительности – почти независимые) одинаково распределенные случайные величины.

Исследование полезно начинать с изучения графика остатков. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости между Y и X график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.

График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения – выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как они могут грубо искажать значения оценок. Чтобы устранить эффект выбросов, надо либо удалить эти точки из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо применять методы оценивания параметров, устойчивые к подобным грубым отклонениям.

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

· проверка качества уравнения регрессии;

· проверка значимости уравнения регрессии;

· анализ статистической значимости параметров модели;

· проверка выполнения предпосылок МНК.

Для проверки качества уравнения регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R и коэффициент детерминации R ². Чем ближе к единице значения этих характеристик, тем выше качество модели.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных. Скорректированный , или рассчитывается так:

(4.4)

где п – число наблюдений; k – число независимых переменных.

Для проверки значимости уравнения регрессии используется F -критерий Фишера, вычисляемый по формуле

(4.5)

Если расчетное значение с v ₁ = k и v ₂ = n – k – 1 степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости а, то модель считается значимой.

Анализ статистической значимости параметров модели (коэффициентов регрессии) проводится с использованием t -статистики

путем проверки гипотезы о равенстве нулю j -го параметра уравнения (кроме свободного члена):

(4.6)

где – это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии

Величина представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии и j -го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений:

(4.7)

где b_ij – диагональный элемент матрицы .

Если расчетное значение t -критерия с (n – k – 1) степенями свободы больше его табличного значения при заданном уровне значимости α;, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Проверка выполнения предпосылок MНK. Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК (см. вопрос 3.1). Выполнение этих предпосылок проверяется на основе анализа остатков e_i. Выполнение условия равенства нулю математического ожидания остатков [см. формулу (3.2)] обеспечивается всегда при использовании МНК для линейных моделей. Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии с помощью критериев t и F. Вместе с тем опенки регрессии, полученные методом наименьших квадратов. обладают хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков. Таким образом, самым важным для получения по МНК состоятельных параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок (условие независимости и условие гомоскедастичности).

1. Проверка условия независимости случайных составляющих в различных наблюдениях. Зависимость текущих значений случайного члена от их непосредственно предшествующих значений называется автокорреляцией. Автокорреляция случайной составляющей нарушает третью предпосылку нормальной линейной модели регрессии (см. вопрос 3.1).

В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков. Чаше всего она наблюдается тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков.

Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Существуют различные способы устранения автокорреляции, например:

· введение в модель фактора времени;

· переход к темповым или относительным показателям;

· включение в модель неучтенных факторов;

· построение авторегрессионных уравнений.