Дифференциальные уравнения динамических звеньев первого порядка и их решения

1. Автобусный парк (автобусы; сотрудники, включая водителей; междугородние маршруты);

2. Суд (участники процессов, залы заседаний, дела);

3. Аптека (сотрудники, лекарства, лекарства-заменители);

4. Аэропорт (экипаж, самолёт, расписание, маршрут, задержки);

5. Кафе (сотрудники, напитки, еда, поставщики);

6. Библиотека (книги, читатели);

7. Бюро расписаний;

8. ГИБДД (автомобили, водители, ДТП);

9. Агентство недвижимости (клиенты, недвижимость);

10. Биржа труда (работодатели; люди, ищущие работу);

11. Гостиница (номера, клиенты, горничные);

12. Детский сад (ребёнок, сотрудник);

13. ЖЭУ (сотрудники, жилищный фонд, заявки, оплата);

14. Отдел кадров (сотрудники, командировки, отделы);

15. Поликлиника (врач, пациент, медицинская карта);

16. Прокат автомобилей (клиент, автомобиль, сотрудник).

Дифференциальные уравнения динамических звеньев первого порядка и их решения

К динамическим звеньям первого порядка относятся: идеальное и реальное интегрирующие звенья, апериодическое, реально-дифференцирующее и интегро-дифференцирующее звенья [3].

В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины и определяется выражением:

, (4.1.1)

где: – начальное значение выходной величины.

Решением уравнения (4.1.1) при нулевых начальных условиях является:

(4.1.2)

Передаточная функция идеально - интегрирующего звена имеет вид:

.

Реальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением, имеет передаточную функцию и решение дифференциального уравнения, которые запишутся соответственно:

,

, (4.1.3)

где: – корень характеристического уравнения звена (); – амплитуда ступенчатого воздействия.

Дифференциальное уравнение, передаточная функция апериодического звена и его решение запишутся соответственно:

,

,

. (4.1.4)

Для реального дифференцирующего звена можно записать:

,

,

, . (4.1.5)

 

Интегро-дифференцирующее звено имеет дифференциальное уравнение и передаточную функцию, соответственно:

,

. (4.1.6)

Меняя коэффициенты модели , , интегро–дифференцирующего звена (4.1.6) можно реализовать пропорциональное звено; звено с преобладанием функций дифференцирования, интегрирования; идеальное интегрирующее; реальное интегрирующее звено и т.д. [3].

Структурные схемы рассматриваемых звеньев первого порядка, их передаточные функции и соотношения параметров схем приведены в таблице 4.1.1.

Динамические свойства звеньев и систем определяются с помощью временных и частотных характеристик.

Временные характеристики показывают изменение во времени выходного сигнала исследуемого звена или системы при подаче на вход типового входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Различают следующие временные характеристики: переходнуюфункцию (характеристику) [ h(t) ] – реакция звена или системы на единичное ступенчатое воздействие и импульсную переходную или весовую функцию - (t) – реакция на единичное импульсное воздействие.

Частотные характеристики определяют реакцию звена или системы на гармонический входной сигнал.

 

Переходная функция может быть определена как обратное преобразование Лапласа изображения выходной величины:

(4.1.7),

здесь – изображение по Лапласу ступенчатого входного сигнала с амплитудой U_0.

Но так как интеграл (4.1.7) является не берущимся, то для определения выражения можно воспользоваться формулой Хевисайда:

, (4.1.8)

где: В, А – числитель и знаменатель передаточной функции; – i – тое значение корня характеристического уравнения.

Звено будет устойчивым, если переходный процесс при стремится к установившемуся значению .

Приведенная формула Хевисайда применима, если корни характеристического уравнения простые и не нулевые.

Таблица 4.1.1

Звено	Передаточная функция	Схема моделирования	Соотношения параметров
Пропорциональное
Идеальное интегрирующее			К=1 =1 (10, 100)
Реальное интегрирующее			К=1
Апериодическое первого порядка
Реальное дифференцирующее

Продолжение таблицы 4.1.1

Звено	Передаточная функция	Схема моделирования	Соотношения параметров
Интегро-дифференци- рующее