Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых

. (7)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (2)).

Второй множитель в (6) принимает значение в точках, удовлетворяющих условию

, . (8)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

(9)

( – амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом ).

Условие (8) определяет положения максимумов интенсив­ности, называемых главными. Число дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (9) в квадрат, получим, что интенсив­ность главных максимумов в раз больше интенсивности , создаваемой в направлении одной щелью: .

Кроме минимумов, определяемых условием (7), в проме­жутках между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направле­ниях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно пога­шают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием

, (10)

.

Рис. 7

В формуле (10) принимает все целочисленные значения, кро­ме , т. е. кроме тех, при которых условие (10) пере­ходит в (8).

Условие (10) легко получить методом графического сложе­ния колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (10) каждый из после­дующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол

.

Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным , мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при ) или (при ) оборотов прежде, чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 7, на котором показана сумма векторов для случая и значений , равных и .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных макси­мумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 8 приведен график функции (6) для и . Пунктирная кривая, проходящая через вершины глав­ных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении пе­риода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (7) и (8) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выпол­нено равенство: , или . Это возможно, если равно отношению двух целых чисел и (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный

Рис. 8

максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум -го порядка - на -й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков и т. д. будут отсутствовать.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превысить единицу. Поэтому из формулы (8) вытекает что .

Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием (см. формулу (10)), этим минимумам соответствуют
= , где , .

Рис. 9

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главно­му максимуму -го порядка, определяется условием: . Отсюда получается для угловой ширины -го мак­симума следующее выражение:

.

Обозначив и , имеем

.

При большом числе щелей значение будет очень мало, потому , и

.

При

Рис. 10

Произведение дает длину дифракционной решетки. Следо­вательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропор­циональна длине решетки. С увеличением порядка максимума ширина возрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси­мумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовая область (конец) которого обращена к центру дифракционной картины, красная - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ). Разрешающая сила определяет ми­нимальную разность длин волн , при которой две линии воспри­нимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, про­дифференцируем условие (8) главного максимума слева по , а справа по . Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

(11)

– угловая дисперсия обрат­но пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спект­ра , тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину , где – линейное расстояние на экране или на фотопластинке меж­ду спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Из рис. 9 видно, что при небольших значениях угла можно по­ложить , где – фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная диспер­сия связана с угловой дисперсией соотношением

.

Приняв во внимание выражение (11), получим для линейной дисперсии дифракционной решетки (при небольших ) следующую формулу:

.

Разрешающей силой спектрального прибора называ­ют безразмерную величину

,

где – минимальная разность длин волн двух спектральных ли­ний, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т. е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояний между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. На рис. 10 показана результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случае а) оба максимума воспринимаются как один. В случае б) между максимумами лежит минимум. Два близких максимума вос­принимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если сере­дина одного максимума совпадает с краем другого (рис. 10. б). Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении .

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положе­ние середины -го максимума для длины волны определяется условием

.

Края -го максимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению

.

Середина максимума для длины волны совпадет с краем максимума для длины волны в том случае, если . Отсюда

.

Решив это соотношение относительно , получим выражение для разрешающей силы .

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки про­порциональна порядку спектра и числу щелей .

 

2. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Прибор гониометр Г-5 смонтирован на массивном металлическом основании. Его оптическая система (см. рис.11) состоит из коллиматора 1, обеспечивающе­го получение параллельного пучка света, зрительной трубы 2, и отсчетного микрометра 3 и ряда других узлов, смонтированных внут­ри корпуса прибора.

Установка включает в себя также источник света – осветитель 4. На предметном столике 5, который может вращаться вокруг вертикальной оси, в специальном крепежном узле установлена диф­ракционная решетка с периодом м. Решетка установлена перпендикулярно светово­му потоку, выходящему из коллиматора. Фиксация установки дифра­кционной решетки производится с помощью винтов 6 и 7, эта опера­ция выполняется лаборантом при подготовке прибора к работе. Непосредственно под предметным столиком расположен крупногабаритный узел 8, называемый алидадой. Внутри ее корпуса нахо­дится отсчетный лимб (круглая шкала). Показания прибора снимают­ся с помощью отсчетного микрометра 3.

Электрическая цепь прибора предполагает питание части узлов непосредственно от электрической сети, а части узлов – через понижающий трансформатор. Трансформатор имеет регулятор напря­жения, позволяющий регулировать накал лампы осветителя. Жела­тельно накал лампы устанавливать не предельный, а несколько ни­же, чтобы не допускать перегрева корпуса. Питание измерительной оптической линии включается с помощью тумблера 10 на левой сто­роне корпуса прибора (внизу), а питание осветительного блока 4 с помощью тумблера 11 на корпусе трансформатора.

 

Общий вид прибора-гониометра Г-5 Рис.11 1 – коллиматор; 2 – зрительная труба; 3 – отсчетный микроскоп; 4 – осветитель; 5 – предметный столик; 6, 7 – фиксирующие винты; 8 – алидада; 9 – корпус основания; 12 – маховичок оптического микрометра. Включение освещения измерительной линии прибора – тумблер на корпусе основания с левой стороны.

 

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить осветитель 4. Поставить зрительную трубку таким образом, чтоб в центре поля зрения было четко видно изображение входной щели коллиматора (максимум нулевого порядка). В этом по­ложении продольные оси осветителя, коллиматора и зрительной тру­бы должны располагаться по одной прямой. Дифракционная решетка закреплена так, чтобыее плоскость была перпендикулярна этой прямой.

2. Тумблером 11, расположенным на левой стороне корпуса вни­зу, включить освещение отсчетного устройства. Через окуляр отсчетного микрометра 3 прочитать показания: верхняя шкала – 0º, нижняя шкала – 180º. Следовательно, прибор настроен, можно приступать к дальнейшей работе. Если настройка прибора сбита, обратиться к лаборанту или преподавателю.

3. Медленно поворачивая зрительную трубу влево (действие прикладывается к корпусу алидады), наблюдать спектр первого порядка.При этом вертикальная нить поля зрительной трубы совмещается с фиолетовым участком спектра (ближе к его левому краю).

4. Произвести отсчет угла, соответствующего положению максимума фиолетового участка спектра первого порядка (1). Отсчет производить через микроскоп 3. Чтобы снять отсчет, нужно, глядя в окуляр отсчетного микроскопа 3, повернуть маховичок 12 оптического микрометра так, чтобы верхние и нижние изображения штрихов лимба точно совпадали.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если запаса хода маховичка не хватает, следует немного сдвинуть зрительную трубу гониометра и сделать такое совпадение возможным.

Число градусов равно ближайшей левой цифре от вертикального индекса, находящегося несколько выше шкалы. Число десятков минут равно числу интервалов, заключенных между верхним штрихом, который соответствует отсчитанному числу градусов, и нижним оцифрованным штрихом, отличающимся от верхнего на 180º. Вести отсчеты с большей точностью не имеет смысла, т.к. значительны погрешности других сопутствующих операций.

Рис. 12. Пример отсчета показания прибора

На рис.12 показание прибора 22º30¢: ближайшая цифра от метки слева 22, и от цифры 22 по нижней шкале до цифры 22+180=202 три деления, это дает нам десятки минут. Итак, имеем 22º30¢.

Навести вертикальную нить зрительной трубы на красный участок спектра первого порядка (ближе к краю спектра) и сделать отсчет (1).

5. Перемещая трубу далее влево, наблюдать спектр второго порядка. Аналогично произвести измерения (2) и (2).

Рис. 13. Пример отсчета показания прибора при правом положении зрительной трубы

6. Возвратить зрительную трубу в положение =0, а затем перевести ее в правую сторону от этого положения и сделать отсчеты и для спектров первого и второго порядков. В этом случае производство отсчетов имеет некоторые особенности. За базовую берется цифра, стоящая справа от метки. Число десятков минут определяется числом интервалов между базовой цифрой и цифрой, на 180 меньшей. Полученный отсчет имеет промежуточный характер. Окончательно значение определяется как разность между 360 и полученным показанием.

На рис.12 показание прибора: 357º40¢, значение угла =360º–357º40¢=2º20¢.

7. Повторить измерения таким образом, чтобы сформировалась статистика из 8 результатов для фиолетового и 8 результатов для красного участка спектра. Данные наблюдений занести в таблицу. (Совпадающие значения и также заносятся в таблицу результатов).

Таблица 1

№ п/п	Порядок спектра,	, град	, град	Примечания

8. Поворачивая зрительную трубу влево и вправо, установить максимальный порядок наблюдаемого спектра . Линейкой измерить ширину решетки . Вычислить разрешающую способность решетки и угловую дисперсию .

 

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Обработка результатов экспериментов включает в себя получение наиболее вероятных значений границ белого света и анализ полученных результатов. Анализ предполагает получение значений выборочной дисперсии и значений доверительных интервалов при заданном уровне вероятности. Для выполнения этой части работы рекомендуется обратиться к учебному пособию «Вопросы математической организации физического эксперимента».

, , , ,

где , – результаты -го измерения.

, .

 

5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

Отчет к лабораторной работе должен включать в себя формулировку цели работы, перечень приборов и оборудования и их характеристики, принципиальную схему лабораторной установки, расчетные формулы, таблицу результатов экспериментов, расчет разрешающей способности и угловой дисперсии решетки, выводы по работе.

 

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. В чем состоит принцип Гюйгенса? Какие дополнения внес в этот принцип Френель?

2. В чем состоит явление дифракции света?

3. Как рассчитать амплитуду колебаний, возникающих в результате дифракции в параллельных лучах от щели?

4. Получите условия максимумов и минимумов интенсивности при дифракции от щели.

5. Получите зависимость интенсивности I от угла дифракции при дифракции от щели.

6. Чем определяется количество минимумов интенсивности при дифракции от щели?

7. Решите задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд.

8. Выведите формулу для интенсивности света, создаваемой дифракционной решеткой при угле дифракции . Получите условия главных максимумов и добавочных минимумов.

9. Получите условия добавочных минимумов, создаваемых дифракционной решеткой, методом графического сложения колебаний.

10. Определите угловую ширину -го максимума интенсивности.

11. Что такое угловая дисперсия? Получите выражение для угловой дисперсии дифракционной решетки.

12. Как определить разрешающую силу дифракционной решетки?

 

 

7. ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев, И.В. Курс общей физики. В 3-х т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006. – 486с. – Т. 2. – с. 381–415- (Электричество и магнетизм. Волны. Оптика).

2. Иродов И.Е. Волновая механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов.– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001–256 с.