Векторная алгебра. Задача 1. Найти координаты векторного произведения , если , .

Задача 1. Найти координаты векторного произведения , если , .

Решение. Найдем и . Векторное произведение, по определению, равно .

Задача 2. Силы и приложены к точке . Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки .

 

Решение. Найдем силу и плечо : . Момент

сил вычисляется по формуле

, а его модуль .

Задача 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

. Находим векторы

 

Векторное произведение

 

Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, .

 

 

Задача 4. Даны координаты вершин параллелепипеда: . Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:

.

Объем этого параллелепипеда .

С другой стороны, объем параллелепипеда , - это площадь параллелограмма: .

, тогда высота .

Угол между вектором и гранью найдем по формуле

.

так как вектор перпендикулярен грани, в которой лежат векторы . Угол между этим вектором и вектором находим по известной формуле

. Очевидно, что искомый угол .

Итак: .

Задача 5. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки , . Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Решение. Найдем три вектора: .

.

Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Следовательно, эти три вектора линей-

но зависимы. Найдем линейную зависимость от .

.

 

Решая эту систему, получим , т.е. .

Задача 6. При каком ненулевом значении t вектор будет еди-

ничным, если Вектор будет единичным, если его длина будет равна единице, т. е. .

 

Задача 7. Даны координаты вершин пирамиды ; .

1. Найти длину вектора .

2. Найти угол между векторами .

3. Найти проекцию вектора на вектор .

4. Найти площадь грани АВС.

5. Найти объем пирамиды ABCD.

Координаты векторов:

1. Длина вектора

 

2.

 

 

3. Проекция вектора на вектор

 

 

4.

 

5.

 

 

Векторная алгебра

 

В математике исследуются различные объекты. К числу основных относятся скалярные и векторные величины. Знакомство с ними состоялось еще в средней школе.

Известно, что скалярная величина (скаляр) определяется одним параметром – величиной, например, 3, -5, 3.14 и так далее. В дальнейшем скаляры будем обозначать буквами и так далее.

Вектор – это направленный отрезок, характеризуемый двумя параметрами – длиной и направлением. Чтобы отличать векторы от скаляров, их будем задавать следующим образом , в последнем случае начальная, конечная точки вектора. Иногда их обозначают жирным шрифтом a.

Исторически сложилось, что геометрия оперирует со свободными векторами. Два вектора считаются равными, если одинаковы их длины и они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону). Другими словами, действие вектора на объект не зависит от точки его приложения.

Это не всегда верно, в частности, в теоретической механике, изучающей движение тел, вектор (сила) является скользящим, он может свободно перемещаться вдоль линии действия, но два параллельных вектора не равны, то есть их действие на объект различное.

Итак, векторная алгебра строится для свободных векторов, что значительно упрощает теорию. При переходе к силам, действующим на тело, делаются определенные поправки (вводятся моменты сил), чем устраняется указанное противоречие.

Введем понятие орта - единичного вектора, то есть вектора, длина которого равна единице. Обозначим длину, или модуль вектора , тогда единичный вектор .

Проекцией вектора на направление , где единичный вектор, показывающий направление от к , является скалярная величина . В соответствии с рисунком , следовательно, если угол между векторами и острый, , в противном случае проекция отрицательна.

Рисунок 1.

Векторы называются коллинеарными, если лежат на параллельных прямых.

Векторы называются ортогональными, если угол между ними прямой.

Векторы, лежащие в некоторой плоскости или параллельные плоскости, называются компланарными. Компланарные векторы могут быть перемещены в одну плоскость, сто следует из определения свободных векторов.

 

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов, их вычитание, умножение на число (скаляр).

 

Правило параллелограмма.

 

Сложение двух векторов осуществляется следующим образом. В силу того, что векторы свободны, с помощью параллельного переноса совмещаются их начальные точки, затем на этих векторах, как на сторонах, строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма, идущая из общей начальной точки является суммарным вектором этих дух векторов.

 

 

Рисунок 2.

 

Это правило установлено еще в древности путем наблюдений за передвижением предметов под действием двух сил.

 

Из правила параллелограмма можно получить правило треугольника суммирования двух векторов. Сумму векторов можно получить, построив вначале вектор , затем из его конца провести вектор . Вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго является суммой этих двух векторов, что непосредственно следует из рисунка 2.

 

Сложение большего количества векторов осуществляется по правилу многоугольника. Заключается оно в следующем. Строится первый вектор, из его конца проводится второй вектор, из конца второго третий и так далее, затем соединяется начальная точка первого вектора с концом второго это и будет суммарным вектором.

Правило доказывается с помощью несколько раз примененного правила треугольника.

 

 

 

Рисунок 3.

 

 

Правило вычитания векторов

 

Разностью векторов является вторая диагональ параллелограмма, проведенная из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого. Это правило доказывается с помощью рисунка 4.

 

 

 

Рисунок 4.

Представим вектор как сумму вектора с вектором, обратным вектору , то есть с . Очевидно, , но эта сумма 0 - есть диагональ нижнего параллелограмма. Из среднего параллелограмма видно, полученный вектор совпадает с вектором, являющимся второй диагональю исходного (верхнего) параллелограмма, что требовалось доказать.

 

Правило умножения вектора на число

 

Вектор , где скаляр, представляет собой вектор, длина которого в раз больше длины вектора , и направлен он вдоль вектора при и в противоположном направлении при отрицательном.

 

Примечание. Приведенные выше правила требуют решения соответствующих задач построением, то есть с помощью чертежей, что не всегда удобно ввиду неизбежных погрешностей построения.

Встает вопрос, как свести эти ошибки к минимуму. Одним из решений этого вопроса явилось введение базисов, о чем пойдет речь ниже.

 

Базисы на плоскости и в трехмерном пространстве

 

Определение 1. Любые два неколлинеарных вектора могут быть выбраны в качестве базиса на плоскости.

Определение 2. Любые три некомпланарных вектора могут быть выбраны в качестве базиса в трехмерном пространстве.

Определение 3. Базис называется ортогональным, если углы между базисными векторами прямые.

Определение 4. Базис называется нормированным, если базисные векторы единичные.

Определение 5. Базис называется ортонормированным, если он ортогональный и нормированный. Векторы ортонормированного базиса в соответствии с существующими традициями обозначаются .

Определение 6. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где некоторые числа (скаляры).

 

Теорема 1. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов : .

Доказательство. Совместим начальные точки базисных векторов и вектора , назовем эту точку , из конца вектора (точка ) проведем прямые, параллельные векторам до пересечения их с продолжениями векторов , точки пересечения прямых обозначим и . В результате получен параллелограмм (рисунок 5). Из правила сложения векторов следует

.

Поскольку векторы и коллинеарны, можно записать , где . Аналогично , где , причем и могут быть как положительными, так и отрицательными числами в зависимости от направлений базисных векторов и вектора . Теорема доказана.

 

Рисунок 5.

 

Очевидно, векторы и являются проекциями вектора на направления соответственно. Если базис нормированный, то числа и называют координатами (компонентами) вектора в данном базисе.

 

Теорема 2. Любой вектор трехмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Докажем теорему для ортонормированного базиса, то есть, что

.

Пусть точка начальная точка векторов , конечная точка вектора , основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость . Из треугольника , изображенного на рисунке 6, следует . Из первой теоремы следует , из коллинеарности векторов и следует , очевидно, .

 

 

Рисунок 6.

 

Следствие. Векторы считаются равными, если равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. То есть

, если .

Вместо обозначения можно использовать сокращенную запись , если базисные векторы заданы ранее.

Имеют место две теоремы о проекциях векторов:

1. ,

2. где число (скаляр).

Из этих теорем следуют правила сложения, вычитания векторов, заданных в базисе, умножения вектора на скаляр. Итак,

Пусть , , тогда

, или

Таким образом, чтобы просуммировать два, или большее количество векторов, заданных в едином базисе, необходимо просуммировать их одноименные проекции.

Аналогично

,

( скаляр),

или .

 

Скалярное произведение векторов

 

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

.

Знак скалярного произведения определяется знаком косинуса.

Очевидно, скалярное произведение можно представить в виде

.

Как уже говорилось ранее, правило суммирования векторов было получено еще в древности из наблюдений за движением тел под действием нескольких сил. Правило вычитания векторов следовало из правила их суммирования. Правило умножения вектора на число также следовало из наблюдений за действием на тело сил.

Скалярное произведение также следует из практических потребностей. В самом деле, если тело под действием силы движется в направлении , то работу совершает только проекция этой силы на направление , перпендикулярная ей проекция работы не совершает. Тогда работа, совершаемая силой на пути , вычисляется по формуле

,

то есть совершаемая работа вычисляется посредством скалярного произведения. Если угол острый, работа положительная (активная). При тупом угле между векторами, работа отрицательная, то есть совершается силами, противодействующими движению (например, силой трения).

 

Свойства скалярного произведения

 

1. . Поскольку угол между первым и вторым векторами произведения, в левом и правом произведениях эти углы отличаются знаком, и в силу четности косинуса не влияют на величину произведения.

2. , если скаляр. Для это свойство очевидно: поскольку и в этом случае сонаправлены,

.

Доказательство для случая не приводится.

3. .

Доказательство. .

4. , когда . Если исключить из рассмотрения нуль-векторы, то скалярное произведение равно нулю при , то есть при .

5. , то есть квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя.

 

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

 

Пусть , , тогда , то есть скалярное произведение векторов в этом случае – есть сумма произведений одноименных проекций перемножаемых векторов.

Доказательство.

Данный результат следует из 3 – го свойства скалярного произведения.

Поскольку базис - ортонормированный, векторы, входящие во второе, третье, четвертое, шестое, седьмое и восьмое скалярные произведения, ортогональны, следовательно, эти произведения равны нулю (четвертое свойство). Кроме того, из второго и пятого свойств имеем , , . Теорема доказана.

 

Приложения скалярного произведения

 

1. Условие ортогональности векторов: из следует .

2. Длина вектора .

3. Угол между векторами. Из определения скалярного произведения следует

.

4. Расстояние между точками. Для получения этого результата введем декартову систему координат, которая известна еще со школы.

Осью координат (координатной осью) называют прямую, на которой выбрана начальная точка (начало отсчета), положительное направление и единица масштаба. Совместим начальные точки векторов ортонормированного базиса , назовем эту точку началом координат, проведем три прямые в направлении базисных векторов. Поскольку положительное направление каждой прямой и масштаб определены направлением базисного вектора и его длиной, точка отсчета совпадает с началом координат, имеем систему трех взаимно перпендикулярных осей. Ее называют прямоугольной декартовой системой координат . Базисный вектор направлен вдоль оси абсцисс , вектор - по оси ординат , вектор по оси аппликат .

Введение системы координат дает возможность применить, так называемый, координатный метод, увязывающий точку, как геометрический объект, с тройкой чисел, называемых координатами точки. Тройка называется упорядоченной, поскольку взаиморасположение чисел зафиксировано. Первое число - есть координата вдоль оси , второе – вдоль , третье – расстоянии вдоль оси . Меняя местами любые из этих чисел, получаем другую точку пространства. Например, и - разные точки пространства. Начало координат соответствует тройке .

Любой объект теперь можно считать множеством точек.

Введем понятие радиуса-вектора точки – это вектор, начальной точкой которого является начало координат, конечной – точка . Если точке соответствуют координаты , нетрудно заметить, что радиус-вектор точки может быть представлен в виде .

Пусть даны две точки и . Вместе с вектором радиусы-векторы точек и представляют треугольник , причем

.

Таким образом, длина вектора , совпадающая с расстоянием между точками и , вычисляется по формуле

.

 

Пример.

1. Задан треугольник с вершинами . Определить длину стороны и угол при вершине .

 

Длину стороны определяем как расстояние между вершинами, тогда

.

Определим векторы ,

.

Угол между этими векторами есть угол при вершине . Очевидно,

.

Угол теперь определяется с помощью таблиц или калькулятора рад.

 

Векторное произведение

 

Как уже говорилось выше, скалярное произведение векторов имеет практическое значение. В частности, с его помощью определяется работа силы на участке пути.

Векторное произведение также имеет практический смысл. С его помощью определяют моменты сил, придающие телам вращение.

 

Правая и левая тройки векторов

 

Определение 1. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов называется левой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму видится по часовой стрелке.

 

Можно проверить, что правая тройка векторов связана на практике с правой резьбой, левая тройка – с левой резьбой.

 

Это обстоятельство привело к тому, что до середины XX века наука о движении (механика) излагалась как в правой, так и в левой декартовых системах координат, что затрудняло изучение литературы по предмету. В середине XX века договорились использовать только правую тройку векторов, а, следовательно, правую декартову систему координат. На рисунке 7 тройка базисных векторов - правая, левая.

 

 

Рисунок 7.

 

Определение векторного произведения, его свойства.

Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, длина которого равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, направлен этот вектор перпендикулярно плоскости, в которой расположены перемножаемые векторы, образуя с ними правую тройку.

Обозначения векторного произведения или .

 

Свойства векторного произведения

1. . Доказательство этого свойства следует из того, что если поворот от к с некоторой точки виден против часовой стрелки, поворот от к с этой же точки, очевидно, видится по часовой стрелке, то есть направление векторного произведения по сравнению с меняется на противоположное, что и доказывает свойство.

2. , где число.

3. .

 

4. , если и коллинеарны. Доказательство следует из того, что между коллинеарными векторами угол 0 или , но .

 

Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе

 

Если , , векторное произведение векторов вычисляется с помощью формулы

.

Доказательство.

Рассмотрим векторные произведения базисных векторов.

как произведения коллинеарных векторов, , в самом деле, , то есть равен длине вектора , и тройка векторов - правая. Из первого свойства векторного произведения следует . Аналогично . Действительно длина векторного произведения равна единице, как и длина вектора , с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору видится против часовой стрелки, что следует из рисунка 7. Из первого свойства имеем . Так же доказывается, что .

Вычислим

Этот результат следует из 3 – го свойства скалярного произведения.

Очевидно первое, пятое и девятое слагаемые в правой части формулы равны нулю как произведения коллинеарных векторов.

Далее

,

,

.

Итак,

,

что и требовалось доказать.

 

Замечание 1. Определитель третьего порядка в этой формуле называют иногда символическим, поскольку не все свойства обычных определителей для него справедливы. Это связано с тем, что одна из строк состоит из векторов, элементы двух других - скаляры. Его использование оправдано тем, что после записания векторного произведения его легко представить в обычном виде, разложив определитель по элементам, скажем, первой строки.

Замечание 2. Условием коллинеарности векторов является равенство нулю их векторного произведения. Следовательно, символический определитель должен быть равен нулю, для этого достаточно, чтобы любые две его строки, или два столбца были пропорциональны. Столбцы пропорциональными быть не могут, так как базисные векторы не коллинеарны, а значит не пропорциональны, строка из векторов не может быть пропорциональна строке из скаляров по той же причине. Остается пропорциональность двух последних строк определителя. Итак, условием коллинеарности векторов , является

.

 

Пример.

Определить площадь треугольника, заданного вершинами , .

Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна , то есть длине векторного произведения этих векторов, площадь заданного треугольника равна половине площади параллелограмма, то .

Вычислим

.

В итоге .

 

Смешанное произведение трех векторов

 

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда построенного на этих векторах. Если векторы компланарны, то смешанное произведение , что следует из определений векторного, скалярного и смешанного произведений.

Для векторов , , ,

смешанное произведение определяется формулой

.

Доказательство. Так как ,

.

Правая часть последней формулы является разложением приведенного выше определителя по элементам третьей строки, что доказывает формулу.

 

Пример.

Вычислить объем параллелепипеда, заданного векторами , , .

Вычислим ,

Объем этого параллелепипеда равен 10.

 

Примеры для самоподготовки.

 

6.1. Вычислить вектор , если , .

.

6.2. Определить скалярное произведение векторов , если , угол между ними ? .

6.3 Определить скалярное произведение векторов , . .

6.4. Определить длину векторного произведения векторов и

. .

6.5. Определить длину векторного произведения , если , угол между ними . .

6.6 Установить, при каком значении векторы , ортогональны? .

6.7. Проверить коллинеарность векторов , .

6.8. Проверить при каком векторы , , компланарны? .