Основная система координат АНК

Основной системой координат автоматизированного навигационного комплекса называется система, применяемая в нем для вычислительных операций при счислении координат самолета, их сравнении, коррекциях и выработке управляющих сигналов.

Проблема основной системы координат и связанное с ней навигационное программирование возникли в связи с необходимостью применения аналитических методов обработки информации о координатах самолета, получаемых от нескольких разнородных датчиков — АВК, БРЛС, астроориентаторов, УДНС, РНДС и др. Каждый из этих датчиков выдает координаты в своей специфической системе: АВК и астроориентатор — в географической (геосферической) и ортодромической; БРЛС и УДНС—в полярной относительно различных наземных точек; РДНС — в криволинейной (гиперболической) относительно двух баз наземных станций. При использовании полетной карты была возможность наносить МС в любой системе координат, для чего на ней, кроме географической, строились вспомогательные координатные сетки: биполярная — для УНС; азимутально-дальномерная — для УДНС; гиперболическая — для РДНС; ортодромическая — для АВК ортодромической системы координат и т. д. Тем самым взаимное положение нескольких МС, относящихся к одному времени, но полученных разными путями, было видно непосредственно на карте, их расхождения измерялись линейкой, и для каждого МС легко определялось отклонение от заданной программы, также нанесенной на карту в виде маршрута полета. Однако такой прием совместной обработки информации от различных датчиков не может быть основой автоматического решения навигационных задач главным образом из-за неточности графических построений.

В качестве основной системы координат АНК, как правило, применяется ортодромическая система, связанная либо с ортодромией каждого участка маршрута («частные ортодромии»), либо с одной ортодромией для района полета («главная ортодромия»). На рис. 2 показано расположение на сфере осей главно-ортодромической (Ох и Оу) и частно-ортодромической (OZ и OS) систем координат для одного и того же маршрута. Отсчет продольной координаты (у — в ГО-системе и S — в ЧО-системе) производится от конца этапа, т. е. эта координата имеет отрицательные значения и достигает нуля только в ППМ (КПМ) каждого участка.

Выбор ортодромической системы в качестве основной объясняется тем, что в ней благодаря применению формул плоской тригонометрии проще всего реализуется непрерывное определение текущих координат МС. Кроме того, в этой системе довольно просто обеспечиваются сравнение координат при коррекциях МС по данным радионавигационных средств и выработка навигационных и пилотажных решений, так как одна частно-ортодромическая координата (Z) непосредственно представляет собой боковое отклонение от ЛЗП, а другая (S) — оставшееся расстояние до контрольной точки (ППМ). Наконец, ортодромическая система координат наиболее удобна при использовании навигационного гирополукомпаса (НГПК) — основного курсового прибора современных самолетов гражданской авиации.

Рис. 2. Главно-ортодромическая (ГО) и частно-ортодромическая (ЧО) системы координат на сфере

Аналитические зависимости для решения задач в АНК

Современная вычислительная техника, особенно цифровая, позволяет реализовать сложные математические зависимости сфероидической геометрии и решать по ним навигационные задачи с любой необходимой степенью точности. Однако невысокая точность исходных данных (особенно при использовании курсовых приборов) позволяет для решения задач воздушной навигации считать поверхность Земли сферической и применять математический аппарат сферической тригонометрии. Этому соответствует и применение в АНК ортодромической системы координат в качестве основной. В то же время все исходные координаты точек на земной поверхности известны только в географической системе, т. е. на эллипсоиде.

В зависимости от требуемой точности замена эллипсоида шаром выполняется различными методами.

В простейшем случае Земля принимается за шар с радиусом R = 6371 км, а геосферические координаты φ и λ считаются равными географическим φ _геогр и λ _геогр; такое упрощение приводит к максимальным ошибкам в расстояниях до 0, 5% и в углах — до 0, 4°.

В другом случае исходные географические координаты φ _геогр и λ _геогр предварительно с помощью метода проф. В. В. Каврайского переводятся в геосферические по формулам:

а Земля считается шаром с радиусом R=a(1-c/4)=6372, 9 км,

где а = 6378245 м — большая полуось эллипсоида Красовского,

с=(a-b)/a» 1/300 — его сжатие,

b = 6356863 м — малая полуось.

Этот прием обеспечивает уменьшение максимальных ошибок до 0, 08% в расстояниях и до 6' — в углах.

Наконец, пересчет географических координат в геосферические можно выполнять по тем же формулам, но радиус Земли выбрать таким, чтобы вдоль заданной ортодромии частный масштаб отображения эллипсоида на сфере был равен единице:

где φ и β — геосферическая широта и путевой угол в любой, в том числе и начальной, точке заданной ортодромии (так как вдоль ортодромии произведение sinβ × cosφ =const). При этом методе достигается точность отображения расстояний до 0, 001%.

Однако и сферические зависимости используются часто только для подготовки исходных данных, вводимых в АНК, а само решение навигационных задач ведется по еще более простым зависимостям—формулам прямолинейной тригонометрии. Это обеспечивает значительное упрощение аппаратуры навигационных вычислителей, сохраняя в то же время при определенных условиях вполне удовлетворительную точность результатов.

Возможность применения плоской тригонометрии в навигационных задачах зависит от величин рассматриваемых расстояний, которые лишь в отдельных случаях достигают нескольких тысяч километров (при счислении координат над океаном между коррекциями и при использовании систем дальней радионавигации). При применении же БРЛС, большей части УНС и УДНС ближней навигации расстояния не превосходят 400—500 км.

Представление о степени искажения результатов расчетов при замене сферических треугольников плоскими дает теорема Лежандра, согласно которой углы плоского треугольника со сторонами, равными сторонам сферического, будут уменьшены на 1/3 сферического избытка («эксцесса») данного сферического треугольника:

где SΔ — площадь сферического или, приближенно, плоского треугольника, a R — радиус земного шара. Например, при рассмотрении правильного треугольника со сторонами D — 500 км

а при сторонах D = 1000 км — Δ А = 12'.

В основе счисления координат по формулам прямолинейной тригонометрии лежит использование упрощенной ортодромической системы координат с таким выбором главной ортодромии (оси Оу), чтобы ЛЗП на всех этапах проходила с возможно меньшими отклонениями от нее. В этих условиях точные («сферические») формулы счисления ортодромических координат при использовании ортодромического датчика курса принимают вид:

где β _у — текущий условный путевой угол, β _ку — условный «угол карты» (заданный путевой угол главной ортодромии).

Применение в АНК упрощенных формул для счисления координат приводит к методическим ошибкам тем большим, чем больше фактические значения координаты х отличаются от нуля, т. е. при полете по маршрутам, не совпадающим с главной ортодромией. Нетрудно заметить, что при полете по ортодромическим меридианам, т. е. перпендикулярно главной ортодромии (β _у — β _ку = 90°), методическая ошибка отсутствует (так как cos(β _y — β _ку) = 0); наибольшей она будет при полетах с направлениями, близкими к главной ортодромии, но на некотором удалении от нее, когда угол β _у — β _ку близок к нулю. Известны расчеты, на основании которых можно показать, что неучет сферичности Земли в полете по ЛЗП, параллельной в начальной точке главной ортодромии, приводит к относительным радиальным ошибкам счисления МС, определяемым выражением

где S — пройденный путь, х₀ — начальное удаление от главной ортодромии, выраженное в радианах (долях радиуса Земли). Например, при S = 500 км = 0, 079 рад и х₀ = 200 км — 0, 031 рад относительная ошибка МС r/S = 0, 0013, а при х₀ = 100 км — r/S = 0, 0006.

Однако в условиях полетов гражданской авиации для конкретного заданного маршрута всегда можно выбрать такое положение главной ортодромии, чтобы полет все время проходил вблизи нее, т. е. при малых значениях х, и тем самым практически исключить ошибки счисления, связанные с применением упрощенных формул. Даже в случаях возникновения в полете необходимости резко изменить маршрут в сторону от главной ортодромии современные АНК обеспечивают возможность оперативного перехода на счисление в системе координат, связанной с новой главной ортодромией, т. е. в области малых значений координаты х.

Другая часть вычислительных операций, выполняемых АНК, представляет собой преобразования для перевода координат самолета, определенных различными независимыми методами, в координаты основной системы данного АНК, что необходимо для сравнения их со счисленными или с программными координатами.

В зависимости от применяемых средств (систем) независимого определения МС исходные координаты выражаются в разных системах: географической, биполярной (двуазимутальной), полярной сферической, гиперболической и др. При этом возможен как непосредственный переход от исходных координат к основным, так и через координаты промежуточной системы. Например, гиперболические координаты, определяющие положение МС относительно двух баз станций, могут быть предварительно пересчитаны в географические координаты или в сферические полярные относительно ведущей станции РДНС (ρ, θ), а затем уже в основную систему АНК — ортодромическую.

Применение упрощенных аналитических зависимостей (формул прямолинейной тригонометрии) при координатных преобразованиях допустимо, как правило, только при определении МС с помощью радионавигационных средств (систем) ближнего действия (БРЛС, УДНС ближней навигации), когда опорные ориентиры, используемые при определении МС, удалены от фактического места самолета и от ЛЗП не более чем на 300—350 км. В этих случаях сферические треугольники могут решаться как плоские с такими же сторонами и углами. Возможные при этом ошибки могут быть оценены с помощью теоремы Лежандра.