Производственная функция Кобба-Дугласа и ее свойства

Функция Кобба-Дугласа получена в результате матема­тического преобразования простейшей производственной функции Y = F(L, К) в модель, которая показывает, какой долей совокупного про­дукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производ­ства. Она имеет следующий вид:

Y = AK^aL^β , (12)

где а изменяется в пределах от 0 до 1, а β = 1 - а.

Функция Кобба-Дугласа содержит два переменных фактора производства - труд (L_) и капитал (К). Параметр А - коэффициент, отражаю­щий уровень технологической производительности, и в краткосрочном периоде он не изменяется. Показатели a v\ р- коэффициенты эластич­ности объема выпуска (Y) по фактору производства: а- по капиталу, а β - по труду. Заметим, что, если каждый из факторов оплачивается в соответствии со своим предельным продуктом, то а и β показывают доли капитала и труда в совокупном доходе. Иными словами, если цена капитала равна предельному продукту капитала, а цена труда рав­на предельному продукту труда (вспомним условие оптимального со­четания факторов производства), то параметры а и β определяют пропорцию, в которой труд и капитал получают свое воз­награждение за созданный продукт. Доля капитала в доходе составит величину aY, а доля труда в доходе - величину β Y. Так как β = 1 - а, то а + β = 1, из чего следует, что мы имеем дело с постоянной отда­чей от масштаба.

Интересно рассмотреть эмпирические значения параметров функ­ции Кобба-Дугласа:

А = 1, 1; a= 1/4; β = 3/4, т. е. доля капитала в наци­ональном доходе составляет 25%, а доля труда - 75%.

В поисках путей наибольшей эффективности производства нас все­гда должна интересовать предельная производительность участвующих в нем факторов¹, с помощью которой определяется оптимальный объем используемых ресурсов. Предельный продукт капитала МР_К пропорци­онален отношению доли капитала в доходе к объему использованного капитала: МР_К = aY/K. Аналогично определяется и предельная произво­дительность труда: MP_L= β Y/L.

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа.

Первое свойство - постоянство отдачи от масштаба - описывает­ся формулой F(nK, nL) = пАК^аL^β , которая показывает, что если количе­ство капитала и труда увеличить в п раз, то объем совокупного выпус­ка, или объем дохода, возрастет в такое же количество раз.

Второе важное свойство функции Кобба-Дугласа связано с измене­нием предельной производительности факторов. Например, если при­влечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использовать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная производительность труда MP_L увеличит­ся, а предельная производительность возросшего объема капитала МР_К снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность сни­зится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной технологии приво­дит к отклонению от оптимального объема совокупного выпуска, т. е. к неэффективности производства.

Однако, если увеличивается параметр А, например, при внедрении более производительной технологии, то будет наблюдаться одновре­менное повышение МР_К и MP_L, что является условием интенсивного экономического роста.

Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа - посто­янство отношения дохода от труда к доходу от капитала (β /a), т. е. постоянство соотношения долей капитала и труда в национальном про­дукте.

Исследования американского сенатора и экономиста Пола Дугласа показали, что в Соединенных Штатах за сорок лет (с 1948 по 1989 гг.) соотношение β /а колебалось в пределах между 2 и 3, в результате чего оплата труда в 2-3 раза превышала вознаграждение капитала. Можно предположить, что постоянные рамки колебания соотношения β /а зада­ны технологически. Колебания β /а внутри этих рамок могут быть объяс­нены отклонением в соотношении I и S, так как вряд ли заработная пла­та, шкала налогообложения и норма амортизации почти ежегодно мог­ли претерпевать значительные изменения.

Макроэкономическое равенство I = S является условием равновес­ного роста еще одной неоклассической модели, которая строится на осно­ве производственной функции Кобба-Дугласа. Речь пойдет о модели эко­номического роста, автор которой - известный американский экономист, лауреат Нобелевской премии Роберт Солоу. Данная модель объясняет ме­ханизм роста экономики в устойчивом состоянии и показывает, как осу­ществляется экономический рост в условиях технического прогресса.