Студопедия — Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований






 

В предыдущем параграфе были рассмотрены три вида преобразований точек на плоскости. Два из них – операции вращения и масштабирования - описываются в виде произведения матрицы на вектор, а третья – операция переноса – описывается как сумма двух векторов. В случае последовательного выполнения любой комбинации операций вращения и масштабирования результат легко можно записать в виде произведения матриц соответствующих преобразований. Это будет матрица результирующего поворота и масштабирования. Очевидно, что удобнее применять результирующую матрицу вместо того, чтобы каждый раз заново вычислять произведение матриц. Однако, таким способом нельзя получить результирующую матрицу преобразования, если среди последовательности преобразований присутствует хотя бы один перенос. Матричное произведение в компьютерной графике также называют композицией. Было бы удобнее иметь математический аппарат, позволяющий включать в композиции преобразований все три выше указанные операции. При этом получился бы значительный выигрыш в скорости вычислений. Однородные координаты и есть этот математический аппарат.

Двумерный вектор в однородных координатах записывается в виде , где . Число называется масштабным множителем. Для того, чтобы из вектора, записанного в однородных координатах получить вектор в обычных координатах необходимо разделить первые две координаты на третью: .

В общем случае осуществляется переход от n -мерного пространства к
-мерному. Это преобразование не единственное. Обратное преобразование называется проекцией однородных координат*.

Рассмотрим некоторые свойства однородных координат. Некоторые точки, неопределенные в n-мерном пространстве, становятся вполне определенными при переходе к однородным координатам. Например, однородный вектор в трехмерном пространстве соответствует бесконечно удаленной точке . Поскольку в однородных координатах эту точку можно представить в виде , при , то в трехмерном пространстве это соответствует точке .

Рассмотрим точку трехмерного пространства . Если представить эту точку как однородное представление точки двумерного пространства, то ее координаты будут . Сравнивая эти координаты со вторым видом формул, выведенных для центральной перспективной проекции, легко заметить, что двумерное представление точки с координатами выглядит как ее проекция на плоскость , как показано на рис. 4.

 

Рис. 4. Проекция точки на плоскость .

 

Аналогично, рассматривая применение однородных координат для векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость , если .

В однородных координатах преобразование центральной перспективы можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:

 

 

Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта, заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также в однородных координатах). Пусть – точка в трехмерном пространстве. Ее однородное представление . Умножим v на P:

Теперь точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет умножаться вектор точки, будут иметь размеры 3´ 3. Запишем матричное преобразование операции переноса для однородных координат:

или , где .

При последовательном переносе точки в точку и затем в точку компоненты суммарного вектора переноса являются суммами соответствующих компонент последовательных векторов переноса. Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть , . Подставив первое уравнение во второе получаем . Матричное произведение т.е. суммарный перенос равен произведению соответствующих матриц переноса.

Запишем матричный вид операции масштабирования.

.

Определим матрицу масштабирования

Так же, как последовательные переносы являются аддитивными, покажем, что последовательные масштабирования будут мультипликативными.

 

Для операции поворота матричный вид будет такой:

Определим матрицу поворота

Аналогично двум предыдущим случаям, покажем, что матрица поворота остается таковой при последовательных поворотах.

Таким образом, доказано, что два, а значит и любое количество последовательных поворотов можно записать в виде одной матрицы суммарного поворота. Также легко заметить, что любая последовательность операций, включающая в себя перенос, масштабирование и вращение в однородных координатах, может быть представлена одной матрицей, которая является произведением матриц данных операций.

Рассмотрим, каким образом с помощью композиции матричных преобразований можно получить одно общее результирующее преобразование. Для этого будем использовать матрицы T, S и R. С вычислительной точки зрения гораздо проще и быстрее применять матрицу уже готового преобразования вместо того, чтобы применять их последовательно одну за другой. К точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Для примера рассмотрим задачу поворота объекта на плоскости относительно некоторой произвольной точки . Пока мы умеем поворачивать объекты только вокруг начала координат. Но можно представить эту задачу как последовательность шагов, на каждом из которых будет применяться только элементарная операция: перенос, масштабирование или вращение.

Вот эта последовательность элементарных преобразований (рис. 5):

1. Перенос, при котором точка переходит в начало координат.

2. Поворот на заданный угол.

3. Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное положение .

 

Рис. 5. Последовательность преобразований при повороте объекта вокруг точки на угол a.

 

Точка . Первый перенос производится на вектор , а обратный перенос ‑ на вектор .

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 901. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия