Примеры. Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд

Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Данный ряд знакоположительный. Сравним его с гармоническим рядом , который расходится. Члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда:

По первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.

Замечание. Расходимость данного ряда можно доказать с помощью интегрального признака или просто указать, что ряд есть ряд Дирихле при . Так как p < 1, то ряд расходится.

Пример 2. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

Данный ряд знакоположительный. Сравним его с рядом , который является сходящейся геометрической прогрессией с

.

По первому признаку сравнения сравним соответствующие члены двух рядов:

.

Так как члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , то данный ряд сходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

Данный ряд является знакоположительным. Применим второй признак сравнения, для сравнения возьмём гармонический ряд , который является расходящимся. Найдём

.

По второму признаку сравнения данный ряд и гармонический ведут себя одинаково, т. е. из расходимости гармонического следует, что и данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд

.

Данный ряд перепишем в виде . Это – ряд Дирихле при . Так как p > 1, то данный ряд сходится.

Пример 5. С помощью интегрального признака доказать сходимость ряда

.

Общий член ряда . Записывая в этой формуле x вместо n, получаем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она принимает положительные значения и убывает с возрастанием x. Вычислим

.

Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд.

Замечание. Сходимость данного ряда можно доказать также по второму признаку сравнения, взяв для сравнения ряд Дирихле , сходящийся, так как p = 2 > 1.

Пример 6. С помощью признака Даламбера выяснить, сходится или расходится ряд

.

Общий член ряда . Заменяя всюду n на (n + 1), получим: . Находим:

;

.

Но e > 2, значит, > 1, откуда, согласно признаку Даламбера, ряд расходится.

Пример 7. Применяя признак Коши, исследовать, сходится или расходится ряд

.

Общий член ряда .

;

.

Так как предел > 1, то, согласно признаку Коши, ряд расходится.

Замечание. Расходимость этого ряда можно доказать иначе. Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:

.