Необходимый признак сходимости

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

 

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

Тогда выражение

(1)

называется числовым рядом, а сами числа – членами ряда. Сумма n первых членов ряда называется n -й частичной суммой ряда и обозначается :

. (2)

Если существует предел S бесконечной последовательности чисел , т. е.

, (3)

то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае называется сходящимся. Если же предел не существует, то ряд (1) называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если , то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму.

Пусть ряд (1) сходится. Тогда его частичная сумма является приближённым значением для суммы . Погрешность этого приближения

(4)

называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда:

(5)

Если ряд (1) сходится, то

.

Бесконечная геометрическая прогрессия

(6)

есть сходящийся числовой ряд, если . Сумма ряда (6) равна в этом случае

.

В случае ряд (6) расходится.

Если ряд (1) имеет сумму S, то ряд

(7)

сходится и имеет сумму . Если же ряд (1) расходится, то (при ) расходится и ряд (7).

Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е., если даны сходящиеся ряды

(8)

, (9)

то ряды

(10)

(11)

тоже сходятся, и суммы их соответственно равны и .

Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушается, если отбросить или прибавить к нему любое конечное число членов.

Необходимый признак сходимости ряда:

Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при , т. е.

.

Обратное утверждение неверно. Из того, что , сходимость ряда не следует. Для сходимости ряда общий член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро.

Пример 1. Члены ряда , называемого гармоническим, стремятся к нулю с ростом их номеров (), однако этот ряд расходится, его . (Расходимость может быть доказана интегральным признаком).

Пример 2. Члены ряда тоже стремятся к нулю с ростом их номеров (), но убывают быстрее, чем члены гармонического ряда. Этот ряд уже является сходящимся, его сумма может быть найдена по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

С помощью необходимого признака сходимости нельзя доказать сходимость ряда, но иногда удаётся доказать расходимость, применяя следствие из необходимого признака, которое легко доказывается от противного.

Следствие из необходимого признака сходимости:

Если , то ряд расходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

Общий член этого ряда . , т. е. . На основании следствия из необходимого признака заключаем, что данный ряд расходится.

Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда .

. Необходимый признак выполняется, поэтому ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, что можно установить лишь после дополнительного исследования.

Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к вычислению некоторых пределов, при этом часто используются известные условия эквивалентности бесконечно малых, которые применительно к рядам принимают вид при :

,

,

(формула Стирлинга).

Часто также приходится иметь дело с пределами:

.