Ряд Тейлора

 

Пусть функция f (x) имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место формула Тейлора:

, (1)

где остаточный член может быть записан в виде

(2)

(форма Лагранжа), причём ξ лежит между a и x.

Очевидно, число ξ можно записать также в виде a + θ (x – a), где 0 < θ < 1.

В случае a = 0 формула Тейлора принимает вид:

, (3)

где

. (4)

Формула (3) носит название формулы Маклорена.

Если функция f (x) имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие

 

(5)

для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда

(6)

Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции.

В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид

(7)

Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.

Разложение функции в степенной ряд единственно, т. е., если функция f (x) разложена каким-либо образом в степенной ряд

,

то .

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только при тех значениях x, при которых остаточный член при неограниченном возрастании n стремится к нулю.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

1) Написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значения этой функции и её производных при x = a и подставить их в общее выражение ряда Тейлора (6);

2) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить те значения x, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т. е. при которых .

При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

В скобках указаны промежутки, на которых верны данные разложения.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arcsin x, используя разложение функции .

Разложим в ряд Маклорена, для чего воспользуемся формулой (12), заменив в этой формуле x на и положив . Получим:

Этот ряд сходится при | x | < 1. Интегрируя его по промежутку [0, x ], где 0 < x < 1, находим:

=

=

Так как , то

Полученный ряд сходится при | x | < 1 (см. §2).