Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Степенные ряды




 

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (1)

где (n = 0, 1, 2, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид

(2)

Теорема Абеля.

1) Если ряд(2)сходится при , то он абсолютно сходится при любом значенииx, удовлетворяющем неравенству .

2) Если ряд(2)расходится при , то он расходится и при любом значенииx, для которого .

Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число называется радиусом сходимости ряда (2).

Радиус сходимости может быть вычислен по формулам

(3)

или

. (4)

Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = –R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.

Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале

(aR, a + R ).

На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним.

Пусть

– степенной ряд, имеющий интервал сходимости (–R, R). Тогда ряд

сходится на том же интервале, и его сумма при .

Простейшим примером степенного ряда является геометрическая прогрессия . Этот ряд сходится при . Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R = 1, а интервалом сходимости является интервал (–1, 1 ). Сумма этого ряда равна

(в соответствии с формулой , a = 1, q = x). Поэтому для функции имеем следующее разложение в степенной ряд:

(5)

Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

.

Применим формулу (4):

.

R = ∞, значит, ряд сходится при всех x, т. е. в интервале (– ∞, + ∞). Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда вытекает: при всех x.

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

.

Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:

.

Таким образом, ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

1) На левом конце ряд принимает вид , т. е. является знакочередующимся. Абсолютная величина его общего члена с учётом формулы Стирлинга (стр. 4) эквивалентна при n → ∞

.

По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.

2) На правом конце интервала ряд принимает вид ;

.

Это – ряд Дирихле при , поэтому данный ряд на правом конце своего интервала сходимости расходится.

Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток .

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 431. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия