Степенные ряды

 

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (1)

где (n = 0, 1, 2, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид

(2)

Теорема Абеля.

1) Если ряд (2) сходится при , то он абсолютно сходится при любом значении x, удовлетворяющем неравенству .

2) Если ряд (2) расходится при , то он расходится и при любом значении x, для которого .

Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (– R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число называется радиусом сходимости ряда (2).

Радиус сходимости может быть вычислен по формулам

(3)

или

. (4)

Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = – R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.

Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале

(a – R, a + R).

На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним.

Пусть

– степенной ряд, имеющий интервал сходимости (– R, R). Тогда ряд

сходится на том же интервале, и его сумма при .

Простейшим примером степенного ряда является геометрическая прогрессия . Этот ряд сходится при . Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R = 1, а интервалом сходимости является интервал (–1, 1). Сумма этого ряда равна

(в соответствии с формулой , a = 1, q = x). Поэтому для функции имеем следующее разложение в степенной ряд:

(5)

Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

.

Применим формулу (4):

.

R = ∞, значит, ряд сходится при всех x, т. е. в интервале (– ∞, + ∞). Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда вытекает: при всех x.

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

.

Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:

.

Таким образом, ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

1) На левом конце ряд принимает вид , т. е. является знакочередующимся. Абсолютная величина его общего члена с учётом формулы Стирлинга (стр. 4) эквивалентна при n → ∞

.

По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.

2) На правом конце интервала ряд принимает вид ;

.

Это – ряд Дирихле при , поэтому данный ряд на правом конце своего интервала сходимости расходится.

Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток .