Приложения степенных рядов

 

Ряды широко используются в приближённых вычислениях. С помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определённых интервалах. Ряд, являющийся решением дифференциального уравнения, можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена). Способ неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям.

Пример 1. Вычислить интеграл с точностью .

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение (8), §3 подставим вместо x:

.

Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е.

=

= .

Полученный числовой ряд есть знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому если мы возьмём для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при этом будет сделана, не превзойдёт абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Замечаем, что третий член ряда

.

Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до , достаточно взять всего два члена ряда. С требуемой точностью

.

Пример 2. Найти первые пять членов разложения в ряд решения уравнения , удовлетворяющего условию при .

Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:

Найдём выражения для трёх производных, дифференцируя исходное уравнение:

.

Вычислим значения этих производных при x = 0, принимая во внимание начальное условие и данное уравнение , откуда

; ;

; .

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем: