III. РЯДЫ ФУРЬЕ

 

1. Рядом Фурье функции f (x), определённой на отрезке [–π, π ], называется ряд

,

коэффициенты которого определяются по формулам

,

,

(1.1)

При этом пишут

(1.2)

Поскольку построение ряда (1.2) выполнено формально, то этот ряд может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не совпадать с разложенной в него функцией.

2.Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых ряд (1.2) имеет сумму, равную заданной функции f (x):

Функция f (x) может иметь на отрезке [–π, π ] лишь конечное число максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.

Эти условия называются условиями Дирихле.

Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [–π, π ], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции ряд сходится к полусумме её предельных значений слева и справа ( c – точка разрыва первого рода). Если , то в точках ряд сходится к значению . При этом сумма ряда (1.2) является периодической с периодом 2π функцией на всей оси Ox.

3. Пусть теперь функция f (x) задана на отрезке [– l, l ]. Ряд Фурье в этом случае имеет вид

, (3.1)

где

,

,

(3.2)

Вопрос о сходимости ряда (3.1), в свою очередь, определяется теоремой Дирихле, но на отрезке [– l, l ], соответственно. Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом 2 l.

Замечание: Значок ~ в (1.2) и (3.1) нужно понимать следующим образом: если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [–π, π ] и [– l, l ] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов f (x) в этих точках, а на концах отрезка – , если ( соответственно).

Пример 1. Разложить функцию

в ряд Фурье на интервале (–2, 2).

Рис. 1

. Данная функция непрерывна на отрезке [–2, 2] и не имеет там экстремумов, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. Вычислим коэффициенты ряда:

;

=

= =

=

= =

= .

Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид

.

В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье для функции f (x) имеет вид

Рис. 2

4. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

а) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [– l, l ] – чётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции будет содержать только и члены с косинусами, т. е.

, (4.1)

.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье на отрезке [–π, π ] чётную функцию f (x) = | x |.

Рис. 3

Данная функция непрерывна на заданном отрезке (l = π) и имеет на нём один экстремум, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле.

Ряд (4.1) в данном случае принимает вид

.

Так как f (x) = | x | = x при 0 ≤ x ≤ π, то

,

=

= =

=

.

В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье – периодическая функция с периодом 2π, которая совпадает с f (x) на отрезке

[–π, π ] (рис. 4).

Рис. 4

На рис. 5 изображены графики частичных сумм ряда Фурье =

= , = , = –

– – :

 

 

Рис. 5

б) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [– l, l ] – нечётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции будет содержать только члены с синусами:

,

где .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [–2, 2] нечётную функцию f (x) = x.

Рис. 6

Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, так как непрерывна и не имеет там экстремумов. Ряд Фурье для данной функции имеет вид

,

где =

= =

= . Таким образом,

.

На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье =

= , = , = +

+ :

Рис. 7

5. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [0, l ].

В этом случае можно доопределить функцию на полуинтервал [– l, 0) либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится чётная на [– l, l ] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по косинусам, а во втором – нечётная на [– l, l ] функция, и её ряд Фурье будет содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [0, l ] эти ряды дадут разложение исходной функции в ряд Фурье.

Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π ], доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).

В результате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =

= φ (– x) = f (– x) = – x, следовательно, φ (x) = | x | на [–π, π ]. Разложение этой функции было сделано в примере 2, и оно одновременно является разложением f (x) = x на отрезке [0, π ].

Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке [0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-2, 0)

Рис. 8

В результате получим нечётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) = – φ (– x) = – f (– x) = x – 1, следовательно, φ (x) = Эта функция непрерывна на [–2, 2] за исключением точки x = 0, в которой она имеет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:

φ (x) = ,

где =

= . Таким образом,

φ (x) = .

В этот ряд одновременно разложена заданная на [0, 2] функция f (x) = x + 1.

Замечание: Можно также разложить f (x) и на отрезке [0, l ], но тогда в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма ряда будет периодической функцией с периодом T = l.