Векторы. Операции над векторами

Высшая математика

 

Вариант №1.

 

1. В параллелограмме найти , если , , , , где — точка пересечения диагоналей.

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Найти вектор , если , , где , , .

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину высоты, опущенной на грань .

 

Вариант №2.

 

1. В параллелограмме доказать, что , где — точка пересечения диагоналей.

2. Радиус вектор точки составляет с осью угол , а с осью — , .Найти координаты точки , если третья координата отрицательная.

3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину высоты, опущенной на грань .

 

Вариант №3.

 

1. Угол между векторами и равен . Построить вектор и определить его длину, если , .

2. Проверить, что точки , , , образуют трапецию.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты, опущенной из вершины на сторону .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину ребра .

Вариант №4.

 

1. В ромбе диагонали и Найти разложение по этому базису векторов

2. Зная одну из вершин треугольника и две его стороны и найти остальные вершины и сторону

3. Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину ребра .

Вариант №5.

 

1. В треугольнике стороны , , точка – серединка стороны . Разложить вектор по векторам и .

2. Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропорциональны синусам противоположных углов.

3. Проверить, могут ли векторы и быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

4. Найти координаты и длину вектора , если , .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №6.

 

1. В четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Дана сила . Найти ее величину и направление (направляющие косинусы).

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

4. Даны векторы и . Найти вектор и .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №7.

 

1. Медианы треугольника пересекаются в точке . Доказать, что .

2. Разложить вектор по векторам и . Найти .

3. Проверить, могут ли векторы и быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

 

Вариант №8.

 

1. Даны векторы , , . При каком значении коэффициента векторы и будут коллинеарные?

2. Даны три последовательные вершины параллелограмма , , . Найти его четвертую вершину.

3. Проверить, что четырехугольник с вершинами , , , является квадратом.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов ,

5. В параллелепипеде , построенном на векторах , и , найти угол между ребром и диагональю .

 

Вариант №9.

 

1. Разложить вектор по векторам , , .

2. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

3. В треугольнике с вершинами , , найти длины сторон и внутренние углы.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору, и оси абсцисс.

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

 

Вариант №10.

 

1. Найти координаты вектора , если и направляющие углы равны: .

2. В правильном шестиугольнике , . Выразить через и векторы и .

3. В треугольнике с вершинами , , найти острый угол между медианой и стороной .

4. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и , где , , .

5. Объем тетраэдра равен , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины, если она лежит на оси ординат.

 

Вариант №11.

 

1. В треугольнике найти длину медианы, опущенной из вершины , если , , .

2. Вектор . Найти координаты вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, .

3. Найти угол между биссектрисами углов и .

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

 

Вариант №12.

 

1. В равнобедренной трапеции угол , , точки и – середины отрезков и . Выразить векторы , , , через единичные векторы и совпадающие по направлению с и .

2. Даны векторы , . Найти .

3. Векторы , , образуют треугольник. Векторы , — ортонормированный базис. Найти углы треугольника .

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , и синус угла между этими векторами.

5. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

Вариант №13.

 

1. Даны векторы , , . Доказать, что — трапеция.

2. Найти вектор коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол при условии, что .

3. Векторы , , имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора , если , .

4. Даны векторы , , . Вычислить и .

5. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .

 

Вариант №14.

 

1. Найти сумму векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами.

2. Найти вектор , параллельный вектору и противоположного с ним направления, если .

3. Доказать, что точки , , лежат на одной прямой. Причем точка лежит между точками и .

4. Найти координаты вектора перпендикулярного оси аппликат и вектору , при условии, что вектор образует острый угол с осью абсцисс и .

5. Какую тройку образуют векторы , , ?

 

 

Вариант №15.

 

1. Зная радиус-векторы , , трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор четвертой вершины.

2. Найти разложение вектора по векторам и .

3. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен оси и удовлетворяет условиям , , , .

4. Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

5. При каком значении параметра векторы , , будут компланарны?

 

Вариант №16.

 

1. Радиус-векторы вершин треугольника равны , , . Показать, что треугольник равносторонний.

2. Радиус-вектор точки составляет с осью угол , а с осью угол , . Найти координаты точки , если ее абсцисса отрицательная.

3. Доказать, что вектор перпендикулярен вектору .

4. Вычислить синус угла, образованного векторами и .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

 

Вариант №17.

 

1. Три вектора , , попарно перпендикулярны, длины их соответственно равны , и . Найти направляющие косинусы вектора и .

2. Могут ли векторы , , быть сторонами треугольника?

3. Найти работу равнодействующей сил и при перемещении материальной точки из начала координат в точку .

4. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты , опущенную на сторону .

5. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

 

 

 

Вариант №18.

 

1. Даны четыре точки , , и . Точки и — середины отрезков и . Доказать, что .

2. В правильном шестиугольнике , . Выразить через и векторы и .

3. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и перпендикулярны?

4. Найти вектор , перпендикулярный векторам , и удовлетворяющий условию .

5. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах , и .

 

Вариант №19.

 

1. В параллелограмме найти , если , , , , где — точка пересечения диагоналей.

2. Радиус вектор точки составляет с осью угол , а с осью — , .Найти координаты точки , если третья координата отрицательная.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №20.

 

1. В треугольнике стороны , , точка – серединка стороны . Разложить вектор по векторам и .

2. Радиус-вектор точки составляет с осью угол , а с осью угол , . Найти координаты точки , если ее абсцисса отрицательная.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №21.

 

1. В четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Разложить вектор по векторам и . Найти .

3. Проверить, что четырехугольник с вершинами , , , является квадратом.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору, и оси абсцисс.

5. Объем тетраэдра равен , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины, если она лежит на оси ординат.

Вариант №22.

 

1. Найти координаты вектора , если и направляющие углы равны: .

2. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

3. В треугольнике с вершинами , , найти длины сторон и внутренние углы.

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №23.

 

1. В треугольнике найти длину медианы, опущенной из вершины , если , , .

2. Даны векторы , . Найти .

3. Векторы , , имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора , если , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

Вариант №24.

 

1. Разложить вектор по векторам , , .

2. Найти вектор коллинеарный вектору , образующий с ортом ⇐ Предыдущая12