Глава 1. Теория функций комплексного переменного (продолжение)

 

Пусть в ортонормированном репере в пространстве заданы точка иплоскость Расстояние от точки до плоскости выражается формулой:

 

Вывод этой формулы предлагается читателю в качестве упражнения, он совершенно аналогичен выводу формулы расстояния от точки до прямой на плоскости, проведенному в пункте в § 2.3, пункт 5.

 

 

Глава 1. Теория функций комплексного переменного (продолжение).

Степень и формула Муавра, корни порядка n.

 

Доказательство формулы Эйлера .

Доказательство или вывод формул , .

Неограниченность в С, пример

Логарифм. Доказательство формулы .

Докажем эту формулу:

, что означает так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного . А это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа. Пример .

Параграф 2. ФУНКЦИИ

Разложение функции f(z) в виде u+iv Чертёж искажений плоскости для .

 

Доказательство, что линейное отображение есть композиция растяжения, поворота и сдвига плоскости

Дифференцируемость, условия Коши-Римана. , , их доказательство.

 

Аналитичность. Дифференцируемость в точке и её окрестности.

 

 

Лекция 2. 9-09-2014

 

Доказательство потенциальности полей (u, -v), (v, u) для аналитической функции

 

Метод восстановления одной части аналитической функции по второй её части.

= замены по условиям Коши-Римана.

Уравнение Лапласа и его доказательство из условий Коши-Римана.

Пример восстановления v(x, y) для u(x, y) =x²-y². Восстановление f(z)=z².

Интегрирование по кривой. Определение интеграла и метод его вычисления.

= .

Пример вычисления интеграла по параболе от 0 до 1+i. Отв. .

Первообразная. .

Формула Ньютона-Лейбница. .

Пример вычисления интеграла по отрезку от 0 до 1+2i. Отв. - по формуле Ньютона-Лейбница и без неё.

 

 

Лекция 3. 16-09-2014

Интегральная теорема Коши и её доказательство. .

Интегральная формула Коши + обобщения для степени.

, .

Пример. .

Нули и особые точки. m- кратный нуль. Полюс порядка m.

Классификация: устранимая особая точка, полюс, существенно-особая точка.

Вычет функции в точке. Примеры.

 

ВЫЧЕТЫ для полюса.

Вывод формул вычисления вычета для полюса порядка 1 и порядка m: ,

Теорема: .

Лекция 4. 23-09-2014