Пример решения задачи К 2

 

Плоский механизм (рис.3 а) состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов , , соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами.

Определить скорости ползунов , , угловую скорость звена , ускорение точки и угловое ускорение звена .

 

Рис.3 а

Дано: м, м, .

 

, , , , , 1/с, 1/с².

 

Определить: , , , , .

 

Решение

1. Строим схему механизма в выбранном масштабе с соблюдением заданных значений углов (рис.3 б).

 

Рис.3 б

2. Определяем типы движения тел. Стержень совершает вращательное движение; стержни и – плоско-параллельное, ползуны и – поступательное движение.

3. Определяем скорости точек звеньев.

Определяем скорость точки , принадлежащей стержню .

 

м/с,

 

Изображаем вектор на схеме механизма.

Определяем скорость точки , принадлежащей стержню . Точка одновременно принадлежит ползуну , поэтому направление известно – вдоль направляющих. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела

 

, откуда

 

м/с

 

Определяем скорость точки Д. Направление неизвестно, поэтому необходимо воспользоваться мгновенным центром скоростей (МЦС). Строим МЦС стержня 3, который находится в точке на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей ,

 

; ;

 

Треугольник - равносторонний, следовательно,

 

1/с

 

Из м

 

м/с

 

Так как , то вектор направлен по линии в сторону вращения .

Определяем скорость точки Е. Точка принадлежит стержню и одновременно ползуну , поэтому направление известно – вдоль направляющих. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела

 

, откуда

 

м/с

 

Определяем . Угловая скорость стержня равна угловой скорости радиуса относительно мгновенного центра

; треугольник - равнобедренный

 

м; 1/с

 

Определяем ускорение точки , принадлежащей стержню

 

 

м/с²;

 

м/с²;

 

Изобразим векторы , на схеме.

4. Определяем ускорение точки , принадлежащей стержню .

 

, (1)

 

Так как точка одновременно принадлежит ползуну , двигающему прямолинейно, то , - направлено вдоль направляющих.

, - найдены ранее;

; , - не известно

м/с²,

 

Покажем векторы , , на схеме (рис. 3в).

 

 

Рис. 3 в

 

Модуль ускорения определим по формуле

 

 

Проведем оси , причем ось направим перпендикулярно неизвестному вектору . Запишем уравнение (2) в проекциях на ось .

, откуда

 

м/с²

 

м/с²,

 

5. Определим угловое ускорение стержня

Запишем уравнение (2) в проекциях на ось

 

, откуда

 

м/с²

 

1/с²

 

Ответ: м/с, м/с, 1/с, м/с², 1/с²

 

2.5. Методические рекомендации к решению задачи Д 1

 

Задача Д1 на определение закона поступательного прямолинейного движения твердого тела при действии на него системы сил.

Задача относится ко второй основной задаче динамики и решается путем интегрирования дифференциального уравнения движения материальной точки (тело при поступательном движении рассматривается как материальная точка).

 

Последовательность решения задачи

 

1. Изобразить тело в произвольном промежуточном на траектории положении.

2. Показать все внешние силы, действующие на тело (в т.ч. реакции связей).

3. Провести оси координат. (Во избежание дополнительных затруднений с правилом знаков целесообразно одну ось направить по направлению движения тела).

4. Записать дифференциальное уравнение движения материальной точки в общем виде, после чего раскрыть правую часть уравнения в соответствии со схемой сил.

5. Решить полученное дифференциальное уравнение.

 

В задачах данного задания тело движется по двум участкам траектории, на которых на тело действуют различные системы сил. В связи с этим законы движения тела на участках будут различны и решение задачи необходимо разбить на этапы. На первом этапе рассмотреть движение тела на участке , на втором этапе – на участке . При этом необходимо учитывать, что по условию задачи скорость тела в конце первого является начальной для второго участка траектории.

Если по условию задачи задано не время движения на участке , а длина этого участка, то в дифференциальном уравнении следует произвести замену переменной на переменную, характеризующую перемещение, например координату

.

 

Пример решения задачи Д1

 

Груз массой , получив в точке начальную скорость , движется в трубе (Рис 4), расположенной в вертикальной плоскости. На участке на груз, кроме силы тяжести, действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке скоростью груз в точке переходит на движение по участку . На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила , направленная по линии движения груза (ось ) и сила трения скольжения. Коэффициент трения .

Найти закон движения груза на участке .

 

Дано: кг, м/с, Н, Н,

с, , Н

Определить: закон движения на участке , т.е.

 

Рис. 4

Решение

 

1. Рассмотрим движение груза на участке , считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и . Покажем действующие силы на схеме.

Проведем ось по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

 

 

 

, (1)

 

Решим полученное дифференциальное уравнение, методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

 

 

Для сокращения записи подставим числовые значения

 

Разделим переменные и проинтегрируем

 

;

 

; (2)

 

Определим постоянную интегрирования по начальным условиям: , м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2)

 

, .

 

Подставим найденное значение в уравнение (2)

 

(3)

 

Преобразуем уравнение (3)

 

 

;

 

(4)

 

Из равенства логарифмов (4) с одинаковым основанием следует равенство логарифмируемых выражений

 

;

 

Скорость в точке при с

 

м/с (5)

 

2. Рассмотрим движение груза на участке . На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось

 

, (6)

 

Определим силу трения:

 

.

 

Для определения силы запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось .

 

 

Так как при движении тела вдоль оси координата не изменяется (т.е. ), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил , откуда ; .

Уравнение (6) примет вид

 

 

 

(7).

 

Разделим переменные в уравнении (7) и проинтегрируем полученное выражение

 

,

 

. (8)

 

Начальные условия для участка : , м/с.

Подставим начальные условия в уравнение (8)

Учитывая, что и , уравнение (8) примет вид

 

; (9)

Проинтегрируем выражение (9)

 

, (10)

 

Из уравнения (10) определяем из начальных условий: ,

, ;

Окончательно уравнение движения груза примет вид:

 

 

Ответ: Закон движения груза на участке

 

2.6. Методические рекомендации к решению задачи Д 2

 

Рассматриваемая задача на определение кинематических характеристик механической системы при действии на нее системы внешних сил. Для решения задачи целесообразно применить одну из общих теорем системы – теорему об изменении кинетической энергии механической системы

 

,

 

где: , - кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии,

- сумма работ внешних сил

 

Последовательность решения задачи

 

1. Изобразить схему механической системы, показать действующие на нее внешние силы и направление скоростей тел.

2. Записать математическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

3. Вычислить изменение кинетической энергию системы в начальном и конечном состояниях.

4. Вычислить сумму работ внешних сил при перемещении системы.

5. Подставить найденные значения кинетической энергии и работы сил в исходное выражение. Вычислить значение искомой кинематической характеристики.

 

Краткие теоретические сведения

 

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех ее частей ,

где - кинетическая энергия -той части системы.

Кинетическая энергия твердых тел определяется по формулам:

 

- при поступательном движении тела;

- при вращательном движении тела, где

- момент инерции тела относительно оси вращения;

- при плоско-параллельном движении тела, где

- скорость центра масс тела,

- момент инерции тела относительно центра .

 

Работа силы вычисляется по формулам:

 

, при ;

 

, при ,

 

где - угол между направлением вектора силы и направлением перемещения точки приложения силы.

 

При решении задачи:

 

· линейные и угловые скорости, входящие в формулы кинетической энергии, необходимо выразить через искомую скорость;

· перемещения тел выразить через перемещение, заданное условием задачи.

 

Пример решения задачи Д2

 

Механическая система (рис.5) состоит из сплошного катка 1 массой , ступенчатого шкива 2 массой с радиусами , и радиусом инерции , груза 3 массой и блоков 4, 5. К блоку 5 присоединена пружина с коэффициентом жесткости . Система приходит в движение под действием силы , приложенной к катку 1. При этом кроме сил тяжести и упругости пружины действуют сила трения груза 3 (коэффициент трения ) и момент сопротивления вращению шкива 2 - .

Определить скорость центра катка при перемещении его на расстояние .

 

Дано: кг, кг, кг, ,

м, м, Нм, .

м, Н/м, Н

 

Определить

 

Решение

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

 

(1)

 

1. Изобразим схему механической системы, покажем все действующие на нее внешние силы (рис. 5).

Рис.5

 

 

- заданная сила, - сила трения,

- сила упругости пружины, , , , - реакции связей,

, , - силы тяжести тел, - момент сопротивления.

 

2. Определим кинетическую энергию системы в начальном и конечном положении.

Покажем на схеме линейные и угловые скорости тел:

 

, , , ,

 

В начальном положении кинетическая энергия системы равна нулю, так как система в этот момент неподвижна

.

В конечном положении кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему

 

,

 

где , , -кинетическая энергия тел 1, 2, 3 соответственно.

Тело 1 совершает плоско-параллельное движение

 

, где .

 

Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси

 

, где .

 

Тело 3 движется поступательно

 

.

 

Выразим скорости тел через искомую

 

; ;

 

С учетом полученных выражений кинетическая энергия системы

. (2)

 

4. Вычислим работу внешних сил (силы показаны на схеме). Предварительно выразим перемещения тел через заданное . Учтем, что соотношения между перемещениями тел такие же, как между соответствующими скоростями.

; ; ;

 

Дж

 

Дж

 

Дж

 

Дж

 

Дж

Дж

Точки приложения сил , , , не перемещаются

 

.

 

На основании найденных значений работ

 

Дж. (3)

 

5. Подставим найденные значения (2) и (3) в уравнение (1)

 

, откуда

 

м/с

 

Ответ: м/с

 

2.7. Методические рекомендации к решению задачи Д3

 

Задача Д3 – на применение к изучению движения механической системы принципа Даламбера. Принцип заключается в следующем: если к действующим на механическую систему внешним силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т.е.

, (1)

где: - сумма внешних сил, - сумма сил инерции.

Применение уравнения (1) упрощает решение задач динамики. По существу, это уравнение эквивалентно уравнению равновесия статики.

Как известно (см. /1/, 133…135) сила инерции материальной точки равна

.

При движении твердых тел с ускорением возникает система распределенных сил инерции. В этом случае систему распределенных сил инерции приводят к главному вектору и главному моменту сил инерции.

При поступательном движении: , ,

где - суммарная масса тела, - ускорение центра масс тела.

При вращательном движении: , ,

где - момент инерции тела относительно оси вращения ,

- угловое ускорение тела

В случае, когда ось вращения проходит через центр масс, и , система сил инерции сводится к одному главному моменту сил инерции

При решении задач по приведенным формулам вычисляют модули , , а направления действия, показывают на чертеже.

 

 

Пример решения задачи Д3

Однородный стержень длиной , массой прикреплен под углом к вертикальному валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω (Рис.6).

Вал закреплен в подпятнике и в цилиндрическом подшипнике . Отрезки .

Определить реакции связей.

 

Дано: , , , , .

Определить реакции связей и .

 

Рис.6

Решение

Применим для решения задачи принцип Даламбера.

 

1. Строим расчетную схему. Покажем действующие на механическую систему силы: силу тяжести , реакции связей , , , силы инерции элементов однородного стержня. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , где - расстояние элементов стержня от оси вращения. Силы инерции элементов стержня направлены от оси вращения и численно равны

 

.

 

Эпюра сил инерции элементов стержня образует треугольник. Полученную систему параллельных сил заменим равнодействующей, равной главному вектору этих сил.

 

,

 

где - вектор ускорения центра масс стержня

Линия действия равнодействующей должна проходить через центр тяжести эпюры распределенной системы сил инерции.

Таким образом, равнодействующая сил инерции стержня численно равна

 

 

Вектор силы приложен в т. Д, находящейся на расстоянии (2/3) l от точки .

Полученная система сил уравновешена. Условия и уравнения равновесия

 

; (1)

 

; (2)

 

; (3)

 

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (2): .

Из уравнения (3):

.

 

Из уравнения (1):

 

 

Ответ: