МЕХАНИКА

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам для студентов специальностей 050718 – Электроэнергетика, 050702 – Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика

 

 

 

Алматы 2006

СОСТАВИТЕЛЬ: А.Д. Динасылов. Механика. Методические указания и задания к полнению расчетно-графических работ (для студентов всех форм обучения специальностей 050718 – Электроэнергетика, 050702 – Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика). - Алматы: АИЭС, 2006. – 42 с.

 

Дисциплина «Механика» является обязательным предметом для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 050718 – Электроэнергетика, а по специальностям 050702 – Автоматизация и управление, и 050717 – Теплоэнергетика она является дисциплиной по выбору. В данной методической разработке, предназначенной для студентов всех трех специальностей, приводятся задания к расчетно-графическим работам, методические указания к их выполнению, примеры выполнения работ. Дан список рекомендуемой литературы.

Ил. 18, табл. 9, библиогр. – 10 назв.

 

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент М.Ш. Мукашев.

 

 

Печатается по плану издания Алматинского института теплоэнергетики и связи на 2006 г.

© Алматинский институт теплоэнергетики и связи, 2006 г.

Содержание

 

1 Общие требования и указания к выполнению расчетно-графических работ 4

2 Задачи, входящие в расчетно-графические работы, указания к их

выполнению и примеры 5

2.1 3адача 1. Равновесие плоской системы сил 5

2.2 3адача 2. Равновесие пространственной системы сил 8

2.3 3адача 3. Кинематика точки 11

2.4 3адача 4. Расчет на прочность при растяжении-сжатии 16

2.5 3адача 5. Расчет на прочность и жесткость при кручении 19

2.6 3адача 6. Расчет на прочность при изгибе (проверочный расчет) 24

2.7 3адача 7. Расчет на прочность при изгибе (проектный расчет) 28

2.8 3адача 8. Расчет на прочность при совместном действии изгиба и

кручения 32

2.9 3адача 9. Расчет сжатых стержней на устойчивость 36

Список литературы 41

 

1 Общие требования и указания к выполнению расчетно-графических работ

 

Согласно учебным планам студенты, обучающиеся по специальности 050718 – Электроэнергетика и 050702 – Автоматизация и управление, выполняют 3 расчетно-графические работы, а обучающиеся по специальности 050717 – Теплоэнергетика выполняют 4 расчетно-графические работы (РГР) по дисциплине «Механика» в соответствии с числом кредитов, отводимых на изучение дисциплины. Тематика расчетно-графических работ относится к разделам «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов» курса.

Условия задач приведены в десяти схемах и десяти вариантах. Студент должен взять для выполнения номер схемы, который показан римскими цифрами на соответствующем рисунке, по последней цифре шифра зачетной книжки, а вариант с цифровыми данными из соответствующей таблицы – по предпоследней цифре шифра. Так, студент, зачетная книжка которого имеет шифр 96472, должен для каждой задачи выбрать схему II и цифровые данные, соответствующие варианту 7. Если последняя цифра шифра нуль, то следует взять схему X, а если предпоследняя цифра нуль, то данные из таблицы принимаются по варианту 10.

При окончательной сдаче РГР каждая работа должна быть сброшюрована отдельно. Выполненная работа состоит из текстовой и графической частей. Оформление работы должно выполняться четким почерком на листах белой бумаги формата А4: работа должна содержать титульный лист, задание, выполненные расчеты, графические построения, выводы. Работа должна быть оформлена согласно принятым нормам (СТП 768-01-07-97); на листах текст должен быть только с одной сто­роны, в конце каждой РГР должен быть приведен список использованной литературы. Как графическая, так и расчетная часть работы, а также текстовый материал могут быть выполнены с помощью компьютерных средств.

Для студентов специальностей 050718 – Электроэнергетика и 050702 – Автоматизация и управление РГР №1 включает задачи 1, 2, 3, РГР№2 – задачи 4, 5, РГР№3 – задачи 6, 7. Студенты специальности 050717 – Теплоэнергетика, кроме перечисленных выше работ, выполняют еще РГР №4, включающую в себя задачи 8 и 9.

Прежде чем приступать к решению задачи, студент должен ознакомиться с соответствующим теме задачи теоретическим материалом по лекциям, учебникам и учебным пособиям, с указаниями к решению задачи и примером, приведенными в настоящих методических указаниях. При этом надо отдавать себе отчет в том, что в каждом конкретном случае ответ на поставленный в условиях задачи вопрос может оказаться отличным от того ответа, который получается в примере. Так, при решении задачи проверочного расчета условие прочности может выполняться или не выполняться.

Выполненные РГР должны быть защищены студентов. Для защиты надо ответить на 2-3 вопроса по теме, а в некоторых случаях решить подобную задачу.

2 Задачи, входящие в расчетно-графические работы, указания к их выполнению и примеры

2.1 Задача 1. Равновесие плоской системы сил

 

Жесткая рама (рисунок 1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н·м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице 1 (например, в условиях варианта 2 на раму действуют сила F₁ = 10 Н, приложенная в точке К под углом 30° к горизонтальной оси, и сила F4 = 40 Н, приложенная в точке Н под углом 60° к горизонтальной оси).

Требуется определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0, 5 м.

 

 

 

 

Указания. Задача 1 является задачей на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы часто бывает удобным разложение силы на составляющие и , для которых плечи легко вычисляются (в частности, на составляющие, параллельные координатным осям), и использование теоремы Вариньона; тогда .

Таблица 1

Сила	F1=10H	F2=20H	F3=30H	F4=40H
Номер условия	Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	–	–	D		E		–	–
	K		–	–	–	–	H
	–	–	H		K		–	–
	D		–	–	–	–	E
	–	–	K		E		–	–
	H		–	–	D		–	–
	–	–	E		–	–	K
	D		–	–	H		–	–
	–	–	H		–	–	D
	E		–	–	–	–	K

 

Пример 1. Жесткая пластина ABCD (рисунок 2) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

 

 

	Рисунок 2 - Схема к примеру 1

 

Дано: F=25 кH, α = 60⁰, P=18 кH, γ =75⁰, M=50 кH·м, β =30⁰, l=0, 5 м.

Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение.

Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие , и учтем, что . Получим

(1)

(2)

(3)

Подставив в эти уравнения числовые значения заданных величин, решаем их и определяем искомые реакции.

Ответ: X_A=-8, 5 кН, Y_A=-23, 3 кН, R_B=-8, 5 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно направлениям, показанным на рисунке 2. Для проверки правильности решения следует воспользоваться каким-либо другим уравнением равновесия, например, в виде суммы моментов всех сил относительно точки А.

 

2.2 Задача 2. Равновесие пространственной системы сил

 

Однородная прямоугольная плита весом P = 5 кН со сторонами AB = 3l, BC = 2l закреплена в точке A сферическим шарниром, а в точке B цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем CC' (рисунок 3). На плиту действует пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы.

 

 

 

Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице 2; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной плоскости xz, сила - в плоскости, параллельной плоскости yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица 2

Сила
	F1=4кH	F2=6кH	F3=8кH	F4=10кH
Номер условия	Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	D		–	–	E		–	–
		D		–	–	–	–	–
	–	–	E		–	–	D
	–	–	–	–	H		H
	E		–	–	H		–	–
	–	–	D		H		–	–
	–	–	H		–	–	D
	E		H		–	–	–	–
	–	–	–	–	D		E
	–	–	E		D		–	–

Определить реакции связей в точках А, B и C.

При окончательных подсчетах принять l = 0, 8 м.

Указания. Эта задача является задачей на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении нужно учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона, и т.д.

Пример 2. Вертикальная прямоугольная плита весом P (рисунок 4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD´, лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила (параллельная оси y) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Дано: P=5 кH, M=3 кH·м, F₁=6 кH, F₂=7, 5 кH, α = 30⁰, AB=1 м, ВС=2 м, СЕ=0, 5АВ, ВК=0, 5ВС.

 

 

 

Определить: реакции опор А, В и стержня DD´.

Решение:

а) рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , , , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут;

б) для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия для действующей на плиту пространственной системы сил:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Для определения момента силы относительно оси разлагаем на составляющие и , параллельные осям x и z , и применяем теорему Вариньона. Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: X_A=-5, 2 кН, Y_A=-3, 8 кН, Z_A=28, 4 кН, Y_B=-7, 5 кН, Z_B=-12, 4 кН, N=14, 5 кН. Знаки указывают, что силы , и направлены противоположно направлениям, показанным на рисунке 4.

 

2.3 Задача 3. Кинематика точки

 

Точка В движется в плоскости xy (траектория точки показана на рисунке 5 условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁(t), y = f₂(t), где x и y выражены в сантиметрах, а t - в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Вычертить в масштабе траекторию точки, показать ее начальное положение и положение в заданный момент времени, показать на рисунке полные скорость и ускорение точки, их проекции на координатные оси, касательное и нормальное ускорение точки.

 

 

Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунке 5, а зависимость y = f₂(t) дана в таблице 3 (для схем I - III во втором столбце, для схем IV - VII в третьем столбце, для схем VIII - X в четвертом столбце).

Указания. Задача 2 относится к теме «Кинематика точки» и решается с помощью формул, определяющих скорость и ускорение точки в декартовых координатах, а также формул, определяющих нормальное и касательное ускорение точки.

Таблица 3

Вариант	I – III	IV –VII	VIII - X
	4 – 9 сos(p )	t2 - 2	- 4 cos(p )
	2 – 3 cos(p )	8 cos(p )	10 sin(p )
	4 – 6 cos2(p )	4 + 2 t2	12 sin2(p )
	12 cos(p )	2 (t + 1) 2	2 – 4 sin(p )
	9 cos(p ) + 5	2 + 2sin(p )	12 cos(p ) + 13
	- 10 cos(p )	3 t2 - 2	3 sin(p )
	8 cos(p ) – 3	(t +1)3	16 sin2(p ) - 14
	- 9 cos2(p )	3 – 4 cos(p )	6 cos(p )
	6 cos(p ) – 4	2 t3	4 – 9 sin(p )
	2 – 2 cos(p )	2 sin(p )	8 cos(p ) + 6

Пример 3. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

x = 3 – 6sin(p ), y = 8cos(p ) - 3,

где x, y даны в сантиметрах, t - в секундах.

Выполнить решение по условиям задачи 3.

Решение.

Для определения траектории точки исключим время t из заданных уравнений движения. Используем формулу

cos²a + sin²a = 1.

Из заданных уравнений движения выражаем соответствующие функции

sin(p ) = ; cos(p ) = .

Подставляя эти выражения, получаем

Это уравнение эллипса. Траектория точки показана на рисунке 6 a; в начальный момент времени t = 0 точка находится в положении M₀, а когда t =1 c – в положении M.

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси

V_x = = – 6 cos(p ) = – π cos(p ),

V_y = = – 8 sin(p ) = – π sin(p ),

V =

При t = 1 с

V_x = – π cos(p ) = – 2, 72 см/c,

V_y = – π sin(p ) = – 2, 09 см/с,

V = см/с.

Аналогично найдем ускорение точки

a_x = = π sin(p ) = π ² sin(p ),

a_y = = – π cos(p ) = – π ²cos(p ),

 

a = .

При t = 1 с

a_x = π ² sin(p ) = 0, 822 см/c²,

a_y = – π ² cos(p ) = – 1, 90 см/c²,

a = = 2, 07 cм/c².

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

.

Получаем

2V

Отсюда

a_τ = = .

Подставив сюда числовые значения соответствующих величин при t = 1 с, найдем a_τ = 0, 506 cм/c².

Нормальное ускорение точки находим, как

a_n = = = 2, 00 см/c².

Для определения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой

a_n = ,

откуда

= 5, 87 см.

Ответ: при t = 1 c V = 3, 43 cм/c, a = 2, 07 см/c², a_n = 2, 0 см/c², a_τ = 0, 506 cм/c², = 5, 87 см.

На рисунке 6 б показаны скорости и ускорения точки в положении M.

 

 

2.4 Задача 4. Расчет на прочность при растяжении-сжатии

 

Для заданной схемы (рисунок 7) проверить прочность стержней, работающих на растяжение и (или) сжатие, приняв допускаемое напряжение на растяжение [s_р] = 160 МПа и на сжатие [s_с] = 120 МПа. Данные взять из таблицы 4.

Указания. Задача 4 является задачей проверочного расчета на прочность при растяжении-сжатии. Для решения задачи следует проверить выполнение условия прочности для элементов конструкции, для чего следует сравнить расчетные напряжения с допускаемыми. Расчетные напряжения определяются через значения продольных усилий в стержнях; для нахождения последних используются уравнения равновесия, которые в зависимости от расчетной схемы (произвольная плоская система или плоская система сходящихся сил) имеют тот или иной вид.

Таблица 4

Вари -ант	F1, кН	F2, кН	a, град	b, град	a, м	b, м	Сечения стержней
					1, 2	0, 8	2 уг 40´ 3	Æ 10
					1, 0	0, 7	2 уг40´ 4	Æ 11
					0, 8	0, 6	2 уг 40´ 5	Æ 12
					0, 9	0, 5	2 уг 45´ 3	Æ 14
					1, 1	0, 4	2 уг 45´ 4	Æ 16
					0, 7	0, 7	2 уг 45´ 5	Æ 18
					0, 6	0, 4	2 уг 50´ 3	Æ 20
					0, 5	0, 7	2 уг 50´ 4	Æ 20
					0, 4	0, 8	2 уг 36´ 3	Æ 12
					0, 8	0, 5	2 уг 32´ 3	Æ 10
Примечания. Обозначение 2угNN K означает, что стержень составлен из двух равнобоких уголков с шириной и толщиной полок, указанных после знака уг; знак Æ означает, что стержень имеет круглое поперечное сечение с диаметром, указанным после этого знака. На некоторых схемах рисунка 7 отдельные параметры, указанные в таблице 3 отсутствуют; в таких случаях численные значения этих величин не следует принимать во внимание. Для схем, где имеется два стержня, работающих на растяжение (сжатие), расчет следует выполнить для обоих стержней.

 

Пример 4. Для заданной схемы (рисунок 8 а) проверить прочность стержня 1, работающего на растяжение или сжатие, приняв допускаемое напряжение на растяжение [s_р]=160 МПа и на сжатие [s_с]=120 МПа. Дано: F₁ = 25 кН, a = 70°, а = 0, 9 м, b = 0, 7 м, сечение стержня - 2 уголка 45´ 3.

Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид

где

σ – расчетное напряжение в поперечном сечении стержня;

N – нормальная (продольная) сила;

А – площадь поперечного сечения;

[σ ] – допускаемое напряжение (на растяжение или сжатие соответственно тому, что испытывает стержень).

Определим продольную силу в стрежне 1. Отбросим мысленно шарнирную опору в точке B, заменив ее действие двумя реакциями H_A и V_A, а также разрежем стержень 1, заменив действие отброшенной части силой N (рисунок 8 б). Имеем произвольную плоскую систему сил. Три неизвестные силы H_A, V_A, и N могут быть определены из трех уравнений равновесия. Однако в рассматриваемой задаче реакции H_A и V_A можно не определять, так как нас интересует только нормальная сила N в стержне 1. Уравнение равновесия запишем в виде å М_А = 0, тогда реакции H_A и V_A в него не войдут. Имеем

N× a - F₁× (a+b)× sin a = 0,

откуда

N = (F₁× (a+b)× sin a)/а = 30 × (0, 9+0, 7)× sin 70°/0.9 = 50, 1 кН ( стержень 1 сжат).

 

Определим площадь поперечного сечения стержня 1. Так как стержень представляет собой 2 уголка 45´ 3, то его поперечное сечение найдем как удвоенное значение площади поперечного сечения уголка, которое найдем в таблицах прокатных профилей. Находим A_уг = 2, 65 см², и площадь поперечного сечения стержня 1 A=2A_уг=530 мм².

Определим нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней и сравним с допускаемым напряжением

Условие прочности выполняется для стержня 1 и для конструкции в целом.

 

2.5 Задача 5 – Расчет на прочность и жесткость при кручении

 

К стальному валу приложены четыре момента (рисунок 9, таблица 5). Требуется: построить эпюру крутящих моментов; при заданном значении допускаемого напряжения при кручении определить диаметры вала d и d₁ из расчета на прочность; построить эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса; вычислить угол закручивания концевого сечения вала при найденных размерах.

 

 

Таблица 5

Номер условия	Расстояния (м)	Моменты (кН·м)	(МПа)
a	b	c	M1	M2	M3	M4
	1, 1	1, 5	1, 2	0, 8	1, 1	0, 5	0, 6
	1, 2	0, 8	1, 5	1, 2	0, 7	0, 4	0, 6
	1, 3	1, 0	0, 5	1, 3	1, 0	0, 6	0, 8
	1, 4	0, 6	0, 8	1, 0	1, 4	1, 0	1, 1
	1, 5	0, 7	0, 5	0, 9	1, 5	1, 2	0, 7
	0, 6	1, 0	1, 2	1, 2	1, 6	1, 4	1, 0
	0, 7	1, 2	1, 0	1, 0	0, 7	1, 7	0, 9
	0, 8	1, 1	0, 6	0, 6	0, 8	1, 2	1, 0
	0, 9	1, 3	1, 0	0, 7	0, 9	1, 2	1, 0
	1, 0	1, 4	0, 8	0, 9	1, 0	1, 4	0, 6

 

Указания. Задача 5 является задачей проектного расчета на прочность при кручении. Для решения задачи следует прежде всего построить эпюру крутящих моментов, а затем из условия прочности выразить геометрическую характеристику поперечных сечений – в рассматриваемом случае это полярный момент сопротивления. Далее по формуле полярного момента нужно найти необходимые значения диаметров вала. После того, как диаметры вала на двух участках будут определены, можно построить эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса, причем на эпюре можно откладывать абсолютные значения максимальных касательных напряжений, так как для изотропного материала знак касательных напряжений не имеет значения. Последний пункт задания – определение угла закручивания концевого сечения вала - относится к расчетам на жесткость; здесь по найденным диаметрам надо подсчитать значения полярных моментов инерции, а затем воспользоваться формулой для определения угла закручивания.

Пример 5. Решить по приведенным выше условиям задачу для схемы, показанной на рисунке 10 а, приняв а = 1, 1 м, b = 1, 5 м, с = 1, 2 м, [t] = 85 МПа, М₁ = 0, 8 кН× м, М₂ = 1, 1 кН× м, М₃ = 0, 5 кН× м, М₄ = 0, 6 кН× м.

Решение. Сначала построим эпюру крутящих моментов T. Для этого воспользуемся формулой T=∑ M и правилом знаков для крутящих моментов. Начинаем строить эпюру от незакрепленного конца вала (рисунок 10 б). Тогда

T₄=M₄=0.6 кН× м,

T₃=M₃+M₄=1.1 кН× м,

T₂=M₂+M₃+M₄=2 кН× м,

T₁=M₁+M₂+M₃+M₄=3 кН× м.

Теперь по заданному значению допускаемого напряжения при кручении [t] определим диаметры вала d и d1 из расчета на прочность.

Найдём диаметр вала d, общий для двух участков слева. Из условия прочности вала при кручении следует, что полярный момент сопротивления поперечного сечения вала должен отвечать условию

Так как для круглого сечения

, то

Аналогично найдём диаметр d₁, общий для двух участков справа

Окончательно примем значения диаметров вала из ряда предпочтительных чисел d=56 мм и d₁=40 мм. Очевидно, что при этом будет некоторая перегрузка по напряжениям, однако в дальнейшем мы убедимся, что она пренебрежимо мала.

Чтобы построить эпюру максимальных касательных напряжений τ _max по длине бруса, сначала пересчитаем значения полярных моментов сопротивления. Найдем

,

.

Тогда τ _max определятся, как

I участок: ;

II участок: ;

III участок: ;

IV участок: .

Как видим, максимальная перегрузка имеет место на 4-м участке и составляет

, что можно считать приемлемым.

Эпюра τ _max приведена на рисунке 10 в.

 

 

Вычислим угол закручивания концевого сечения вала при найденных размерах. Для этого предварительно определим значения полярных моментов инерции поперечных сечений вала, входящих в формулы J_p J_p¹ для углов закручивания. Получаем

мм⁴, мм⁴.

Теперь, принимая модуль сдвига G для стали, равным 8·10⁴ МПа, найдем углы закручивания граничных сечений вала, воспользовавшись формулами для угла закручивания

, где .

Просчитаем все φ:

_{⇐ Предыдущая12}