Пример 1

Теоретическая механика

(дополнительные главы)

Задания для студентов заочно-сокращенной формы обучения

Методика выбора варианта на выполнение контрольных работ

 

Каждая задача имеет 30 вариантов. Номер варианта студент определяет самостоятельно по двум последним цифрам своего шифра с помощью таблицы 1.

 

 

Таблица 1.

	Последняя цифра шифра
предпоследняя цифра шифра

 

Задача Д3.

Свободные колебания материальной точки

 

При решении задач на прямолинейные колебания материальной точки рекомендуется следующий алгоритм:

1) расчетная схема (по возможности упрощается физическая схема): изображается исследуемая материальная точка в выбранной системе координат в текущий момент времени;

2) указываются силы действующие на материальную точку;

3) составляется дифференциальное уравнение движения материальной точки;

4) решается полученное уравнение и находятся неизвестные

При решении задач, связанных с исследованием прямолинейных колебаний материальной точки, следует учитывать некоторые особенности составления расчетной схемы.

Если груз, грузы (материальная точка) прикреплены к нескольким пружинам, то на расчетной схеме рекомендуется изображать одну эквивалентную пружину и указать длину пружины в свободном, ненапряженном состоянии.

На расчетной схеме рекомендуется изображать три точки: начало координат рекомендуется выбирать в положении статического равновесия колеблющейся материальной точки (это может быть один груз или система грузов), начальное положение (определяется условием задачи) и текущее положение (любое направление на положительном направлении оси).

 

Пример 1

На платформе весом P, подрессоренной пружиной жесткостью c, покоится груз весом G. В некоторый момент времени груз толчком сбрасывается с платформы. Определите уравнение последующих колебаний платформы.

 

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — платформа весом P совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси, следовательно её можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной пружины О₁ (рис. 2, а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2, б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

 

 

 

В начальный момент времени пружина была сдеформирована под статическим действием платформы и груза, на рис. 2, в покажем начальное положение точки — М₀, эта точка также соответствует статическому равновесию платформы с грузом. Введём обозначения: f_ст — статическая деформация пружины; f_ст2 — статическая деформация пружины под действием платформы и груза; x ₀ — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2, г. Отметим характерные точки О₁, О, М, М₀ на расчётной схеме (рис. 2, д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

— сила тяжести;

— сила упругости пружины (определяется как произведение жёсткости пружины на её полную деформацию, полную деформацию пружины определяем на расчётной схеме — это расстояние между концом недеформированной пружины (рис. 2, а) и произвольным положением точки (рис. 2, г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив f_ст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C ₁ и C ₂ подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

 

Вариант 1 2. На платформе весом 40 Н, подрессоренной пружиной жесткостью 200 Н/см, покоится груз весом 64 Н. В некоторый момент времени груз толчком сбрасывается с платформы. Определите уравнение последующих колебаний платформы, считая ось x проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия платформы на пружине.

Вариант 2 2. Груз весом 490 Н падает без начальной скорости с высоты h = 0, 1 м на упругую невесомую балку жесткостью 200 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, считая ось x проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке.

Вариант 3 2. Пружину жесткостью 2 Н/см растянули относительно ее свободного состояния на 2, 5 см, подвесили груз весом 12 Н и сообщили ему скорость 1, 5 см/с, направленную вертикально вниз. Определите уравнение последующих колебаний, считая ось x проведенной вертикально вниз из центра колебаний.

Вариант 4 2. Груз весом 50 Н, прикрепленный к недеформированной пружине жесткостью 5 Н/см, отвели на 4 см вниз по гладкой наклонной плоскости и отпустили, дав импульс вверх. Определите уравнение последующих колебаний, если известно, что максимальное удлинение пружины при колебаниях равно 8 см.

Вариант 5 2. Груз весом 98 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости пружиной жесткостью 10 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, отпущенного без начальной скорости в момент, когда пружина была растянута относительно ее свободного состояния на 9, 8 см.

Вариант 6 2. Груз под действием пружины совершает колебания на гладкой горизонтальной плоскости с угловой частотой k = 10 с-1. Запишите уравнение колебаний, отсчитывая координату x от центра колебаний и приняв следующие начальные условия: х 0 = 5 см, V 0 = 50 см/с.

Вариант 7 2 . Пружина жесткостью 4 Н/см в начальный момент была сжата относительно ее свободного состояния на 1 см и груз отпущен без начальной скорости. Определите уравнение последующих колебаний груза, если начало оси x соответствует положению статического равновесия груза. Плоскость считать гладкой, груз весит 12 Н.

Вариант 8 2. Найдите уравнение колебаний груза весом 196 Н. Пружина жесткостью 20 Н/см в начальный момент времени быласжата относительно ее свободного состояния на 4, 9см и груз отпущенбез начальной скорости.

Вариант 9 2. Груз весом 3, 92 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости пружиной жесткостью 0, 9 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, если в начальный момент времени пружину растянули на 4, 6 см и отпустили груз без начальной скорости.

Вариант 10 2. Найдите уравнение колебаний груза на гладкой горизонтальной плоскости, если из­вестны собственная частота k = 14 с-1 и начальные условия x 0 = 0 см, см/с. Координата x отсчитывается от центра колебаний.

Вариант 11 2. Груз весом 800 Н падаетиз состояния покоя с высоты h = 0, 1 м на невесомую платформу, укрепленную на упругом фундаменте жесткостью 40 Н/см. Найдите уравнение движении груза, предполагая, что после встречи с платформой груз не отделяется от нее.

Вариант 12 2. Груз весом 40 Н подвесили к вертикальной недеформированной пружине и отпустили, сообщив скорость 70 см/с вниз. Известно, что длина недеформированной пружины 40 см, а при равновесии груза на пружине ее длина 45 см. Определите уравнение движения груза, вдоль оси x.

Вариант 13 2. К концу сжатой на2, 55 см вертикальной пружины, коэффициент жесткости которой 2 Н/см, подвешен грузвесом 4, 9 Н, ему сообщена скорость 40 см/с, направленная вертикально вниз. Определите уравнение движения груза, выбрав начало координат в положении его статического равновесия и направив ось вниз.

Вариант 14 2. Пружину с коэффициентом жесткости с = 10 Н/см сжалина 5 см, прикрепили к ней груз весом 98 Н и сообщили ему скорость 20 см/с по гладкой наклонной плоскости вниз. Определите уравнение движения груза относительно положения его статического равновесия.

Вариант 15   2. Найдите уравнение колебаний груза весом 3, 92 Н, подвешенного на пружине жесткостью 1, 6 Н/см, если в начальный момент времени пружина была растянута относительно ее свободного состояния на величину 5 см и грузу сообщена скорость 80 см/с, направленная по вертикали вверх. Движение груза отнести к оси x, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на пружине.

Вариант 16 2. Грузы весом 2 Н и 5 Н подвешены на пружине жесткостью 10 Н/см и находятся в состоянии покоя. Определите уравнение колебаний меньшего груза после пережигания связывающей их нити, считая, что ось x проведена вниз из положения статического равновесия меньшего груза на пружине.

Вариант 17 2. На вертикально расположенной пружине подвешены два равных груза, в результате чего она получила статическое удлинение λ = 10 см. Затем один из грузов оборвался. Найдите уравнение движения оставшегося груза, пренебрегая массой пружины.

Вариант 18 2. Определите уравнение колебаний груза весом P = 40 Н, считая, что начало оси x соответствует положению статического равновесия груза. Пружина жесткостью 8 Н/см в начальный момент была сжата относительно ее свободного состояния на 1, 5 см и грузу сообщена скорость V 0 = 12 см/с, направленная вниз по наклонной плоскости.

Вариант 19 2. Груз весом 1, 96 Н удерживается на гладкой наклонной поверхности пружиной жесткостью 0, 2 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, если в начальный момент пружину растянули на 4, 9 см и грузу сообщили скорость 60 см/с вниз вдоль плоскости.

Вариант 20   2. При статическом равновесии груза, принятом за начало отсчета координаты x, пружина сжата на 5 см. Определите уравнение колебаний груза на пружине, если в начальный момент времени она была растянута относительно своего свободного состояния на 2, 5 см и груз отпущен без начальной скорости.

Вариант 21 2. Груз весом 490 Н падает без начальной скорости с высоты h = 0, 1 м на упругую невесомую балку жесткостью 200 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, считая ось x проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке.

Вариант 22 2. Пружину жесткостью 2 Н/см растянули относительно ее свободного состояния на 2, 5 см, подвесили груз весом 12 Н и сообщили ему скорость 1, 5 см/с, направленную вертикально вниз. Определите уравнение последующих колебаний, считая ось x проведенной вертикально вниз из центра колебаний.

Вариант 23 2. Груз весом 50 Н, прикрепленный к недеформированной пружине жесткостью 5 Н/см, отвели на 4 см вниз по гладкой наклонной плоскости и отпустили, дав импульс вверх. Определите уравнение последующих колебаний, если известно, что максимальное удлинение пружины при колебаниях равно 8 см.

Вариант 24 2. Груз весом 98 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости пружиной жесткостью 10 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, отпущенного без начальной скорости в момент, когда пружина была растянута относительно ее свободного состояния на 9, 8 см.

Вариант 25 2. Груз под действием пружины совершает колебания на гладкой горизонтальной плоскости с угловой частотой k = 10 с-1. Запишите уравнение колебаний, отсчитывая координату x от центра колебаний и приняв следующие начальные условия: х 0 = 5 см, V 0 = 50 см/с.

Вариант 26 2 . Пружина жесткостью 4 Н/см в начальный момент была сжата относительно ее свободного состояния на 1 см и груз отпущен без начальной скорости. Определите уравнение последующих колебаний груза, если начало оси x соответствует положению статического равновесия груза. Плоскость считать гладкой, груз весит 12 Н.

Вариант 27 2. Найдите уравнение колебаний груза весом 196 Н. Пружина жесткостью 20 Н/см в начальный момент времени быласжата относительно ее свободного состояния на 4, 9см и груз отпущенбез начальной скорости.

Вариант 28 2. Груз весом 3, 92 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости пружиной жесткостью 0, 9 Н/см. Найдите уравнение колебаний груза, если в начальный момент времени пружину растянули на 4, 6 см и отпустили груз без начальной скорости.

Вариант 29 2. Найдите уравнение колебаний груза на гладкой горизонтальной плоскости, если из­вестны собственная частота k = 14 с-1 и начальные условия x 0 = 0 см, см/с. Координата x отсчитывается от центра колебаний.

Вариант 30   2. Груз весом 800 Н падаетиз состояния покоя с высоты h = 0, 1 м на невесомую платформу, укрепленную на упругом фундаменте жесткостью 40 Н/см. Найдите уравнение движении груза, предполагая, что после встречи с платформой груз не отделяется от нее.