Свойства условных вероятностей

1) ; 2) ; 3) ; 4) если , то ;
5) .

 

Определение 3. Событие А называется независимым от события В
с , если , т.е. вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

 

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

.

В частности для независимых событий , т.е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

 

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

.

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Вычисление вероятности появления хотя бы одного из совместных событий можно вычислять как разность между единицей и вероятностью произведения противоположных событий :

.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.

 

Пример 4.3. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0, 06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0, 08. Предполагая, что оба события независимы, определить вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу.

Решение. Пусть А = «потребитель увидит рекламу по телевидению»; В = = «потребитель увидит рекламу на стенде»; С = «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». По условию Р (А) = 0, 06; Р (В) = 0, 08. События А и В совместные и независимые.

а) Потребитель увидит две рекламы. В наших обозначениях это событие , так как эти события независимы, то

б) Событие С есть сумма событий А и В. Так как эти события совместны, то

Р (С) =Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Р (С) = 0, 06 + 0, 08 – 0, 0048 = 0, 1352.

Эту же вероятность можно найти, используя свойство вероятностей противоположных событий

;

;

.

Ответ: а) ; б) Р (С) = 0, 1352.

 

 

Пример 4.4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Решение. Обозначим события: — студент ответит на первый вопрос, — на второй, — на третий. То, что студент ответит на все три вопроса — это произведение событий . По теореме умножения вероятностей

.

Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос , так как всех возможных вопросов 25, а студент знает 20. После того как студент ответит на первый вопрос останется 24 возможных вопроса, а из них тех, которые знает студент, 19, следовательно, Аналогично рассуждая, получим, что . Искомая вероятность

Ответ: Р = 0, 496.

Пример 4.5. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40 % работников фирмы — женщины, а 6, 4 % работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение. Для решения задачи необходимо ответить на вопрос: «Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату.

Пусть А — случайно выбранный работник имеет высокую зарплату; В — случайно выбранный работник — женщина. События А и В — зависимые. По условию Р (АВ) = 0, 064; Р (В) = 0, 40; Р (А) = 0, 21. Необходимо найти условную вероятность . Из равенства получим

.

Поскольку меньше, чем Р (А) = 0, 21, то можно заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

 

 

Пример 4.6. Вероятность хотя бы одного правильного ответа при опросе преподавателем четырех студентов равна 0, 9984. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент правильно ответит на заданный вопрос.

Решение. Вероятность хотя бы одного правильного ответа при опросе четырех студентов определяется по формуле

,

где р — вероятность правильного ответа для одного наудачу выбранного студента.

По условию Р = 0, 9984. Решаем уравнение

Ответ: р = 0, 8.

 

 

Пример 4.7. В театральной кассе к некоторому моменту времени осталось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет с равной вероятностью в любой из возможных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятности следующих событий: 1) А =
= «куплены билеты в разные театры»; 2) В = «куплены билеты в какой-нибудь один театр»; 3) С = «все билеты в театр эстрады распроданы»; 4) D = «билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады».

Решение. 1. Обозначим — билет куплен в театр эстрады, — в драматический театр, — в театр комедии. Нас интересует вероятность события

Для первого покупателя вероятность купить билет в театр эстрады (так как всех билетов 6, а в театр эстрады только один). После того как первый покупатель приобрел билет в театр эстрады, в кассе осталось 5 билетов и для второго покупателя условные вероятности и будут равны , . Следовательно, по теореме умножения

; .

Если первый покупатель купил билет в драматический театр, то , а условные вероятности , и , . Наконец, если первый покупатель приобрел билет в театр комедии, то

, , и ,

,

.

2. ,

.

3. .

4. .

Ответ: ; ; ; .