Повторные независимые испытания (схема Бернулли)

 

Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n -м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли

.

 

Пример 6.1. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Решение. а) По условию задачи . Так как вероятность наступ­ления события А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испытания, то задача подходит под схему Бернулли. Находим вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий нет ни одного испорченного . По формуле Бернулли

а) ;

б) ,

.

Ответ: а) ; б) .

 

 

Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами и : . Если — целое число, то наивероятнейших чисел два и .

Пример 6.2. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0, 8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

Решение. По формуле найдем По условию

.

Следовательно, имеются два наивероятнейших числа или .

Ответ: или .

 

 

Пример 6.3. Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0, 8. Сколько надо произвести бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение. Известно, что . Тогда и n найдем из системы неравенств

Так как n — целое число, то или .

Ответ: 24 или 25.