Теоремы Муавра-Лапласа
Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность
где Пример 6.5. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна Решение. По условию задачи
Ответ: Теорема 3 (Муавра-Лапласа (интегральная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между
где р — вероятность появления успеха в каждом испытании,
Пример 6.6. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью Решение. По условию Ответ: Пример 6.7. Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0, 99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в его ресторане? Решение. Пусть А = «турист пообедал у заинтересованного владельца». Наступление события А будем считать «успехом», Откуда следует, что
Используя таблицу для Ф (х) (прил. 2), находим Ответ: 537 мест.
Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу
Пример 6.8. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 04. Решение. По условию Требуется найти вероятность
Ответ: Р = 0, 9876.
Пример 6.9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0, 5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0, 7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 02. Решение. По условию
Следовательно,
Ответ:
|