F(x) f(x) F(x)

 

 

х

Рисунок 2

В качестве приближающих функций F(x) в зависимости от характера точечного графика (рис.2.) используются следующие основные функции:

1. F(x) = ах+b, 2. F(x) = ax +bx+c, 3. F(x) = + b,

параметры а, b параметры a, b, c, m параметры а, b

 

4. F(x) = a e , 5. F(x) = a lnx + b

параметры a, m параметры а, b

и другие функции.

a

 

 

Для приближающей функции с 4-мя параметрами F(x, a, b, c, m) сумма квадратов разностей f(x) и F(x) имеет вид:

Ф(a, b, c, m), (1)

условие минимума примет вид системы уравнений частных производных по параметрам a, b, c, m:

;

(2) ;

;

;

то есть

(3)

 

 

Коэффициент 2 не равен 0, поэтому его можно убрать из системы уравнений (3).

Таким образом, алгоритм МНК следующий:

1.По таблице исходных данных построить точечный график функции f(x);

2. По виду графика функции f(x) подобрать уравнение приближающей функции F(x) с необходимыми параметрами a, b, c и т.д.;

3. С помощью системы уравнений (3) рассчитать параметры a, b, c, … приближающей функции F(x);

4. Подставить числовые значения параметров a, b, c, … в уравнение приближающей функции F(x);

Пример. Определим зависимость С=С(q) по табл.1:

Таблица 1

q, шт.
C, $			8, 67			5, 33	4, 86	4, 5	4, 22

 

1. Точечный график, построенный по табл. 1, имеет вид:

2. По виду графика можно определить, что приближающей функцией для него является зависимость под номером 3:

№3: F(x) = + b C

или C(q)= + b, т.е для определения функции

нужно рассчитать два её параметра: a и b. q

 

3. Согласно (3)

или

(22 - - b) + (12 - - b) +(8, 67 - - b) +…+ (4, 22 - -b) =0;

(22 - - b) 1 + (12 - - b) 1+(8, 67 - - b) 1+ …+ (4, 22 - -b) 1=0

 

После преобразований и решения этой системы уравнений получим, что коэффициент а = 100, коэффициент b = 2

4. Таким образом, приближающее уравнение примет вид. С(q) = + 2

Контрольные вопросы

1. Для чего предназначен МНК?

2. Что такое приближающая функция?

3. Как выбирается приближающая функция?

4. Сколько уравнений будет в системе (2)для функции у = ax^m + b?

5. Как рассчитать параметры приближающей функция?