Качественный анализ заданных функций

Для того, чтобы исследовать функцию качественно (а не количественно – для каждой точки) узнать, как она изменяется, на каких участках растёт, где уменьшается, нужно определить её критические (ключевые) точки – точки пересечения с осями х и у, максимумы и минимумы, при этом у неё может быть не один, а несколько точек экстремума- несколько локальных максимумов и минимумов и два глобальных – наибольший из локальных максимум (максимум максиморум) и наименьший из локальных минимум (минимум миниморум). Для получения представления о характере изменения функции нет необходимости исследовать все точки функции на интервале её определения, достаточно найти, где она обращается в ноль (точки пересечения с осью х), какое значение имеет в начале коородинат (при х = 0) и найти все её экстремумы.

 

Таблица производных

Параметр	Производная
хn	nхn-1
uv	u'v + v'u
C (константа)
(С u)'	C u '
(u + v) '	u' + v'

Пример. Провести анализ функции у = 2х³ – х² на интервале [-1, 1], построить примерный график изменения функции на заданном интервале.

 

Определим ключевые точки функции и отложим их на графике (рисунок 5).

1. Определим точки пересечения функции с осью ординат - осью у. Это будет при х =0, поэтому подставляем в уравнение функции значение х = 0 и получим

у = 2∙ 0³ – 0² = 0, т.е. при х = 0 величина у = 0.

На графике появляется первая точка [0; 0].

 

2. Определим точки пересечения функции с осью абсцисс - осью х. для этого нужно приравнять функцию к 0 найти корни полученного уравнения:

х

0, 5

у

-3

-1

Рисунок 5. Ключевые точки

2х³ – х² = 0 или х(2х² – х) = 0.

Это возможно, если какой-либо из

сомножителей (х или 2х² – х) равен 0, отсюда:

х₁ = 0.

Для второго сомножителя получим квадратное

уравнение

2х² – х =0. Решаем его:

.

Получим х₂ = 0, , т.е. функция у

обращается в 0 при х₂ = 0 и . Рисуем на графике вторую точку [0, 5; 0].

 

3. Определим значения функции на концах интервала:

При х = -1 получим у = 2∙ (-1)³ – (-1)² = -2 -1 = -3. Третья точка на графике: [-1; -3].

При х = 1 получим у = 2∙ (1)³ – (1)² = 2 -1 = 1. Четвёртая точка на графике: [1; 1].

 

4. Находим экстремумы функции, для этого берём от неё производную и приравниваем её к 0:

y' = (2х³ – х²)' = 3∙ 2∙ x² -2∙ x или y' = 6x² -2x = 0.

Решаем это квадратное уравнение, вынося 2х за скобки:

2х(3х-1) = 0, отсюда получаем 2х = 0, т.е х₁ = 0 или

3х-1 = 0 или 3х = 1, отсюда .

При х = 0 функция у = 0, при .

Таким образом, точки экстремумов имеют координаты:

[0; 0] – пятая точка, (совпадает с т.1)и [0, 33; -0, 04] – шестая точка.

 

5. Проверим, какой вид экстремума находится в этих точках. Для этого берём вторую производную заданной функции, т.е. производную от уже имеющейся первой производной:

y" = (6x² -2x)' = 12x – 2.

Подставляем в это уравнение корни первой производной. Если полученная величина будет отрицательна, то в точке находится максимум, если положительна, то минимум.

Для точки [0; 0] получим, что12∙ 0 – 2 = -2 < 0, т.е. в пятой точке (т.1) находится максимум функции.

Для точки [0, 33; -0, 04] получим, что12∙ 0, 33 – 2 = 1, 96 > 0, т.е. в шестой точке находится минимум функции.∙

Соединив полученные точки плавной кривой, получим качественный график функции у = 2х³ – х² на интервале [-1, 1] – рисунок 6.

 

у

х

0, 5

-3

-1

Рисунок 6. График функции

I

II

III

IV

Вывод: заданная функция расположена в I, II и III-м квадрантах, в целом увеличивается, но в середине интервала имеет изгиб с локальными максимумом в т. 1 и минимумом в т.6. Глобальный минимум расположен на нижней границе интервала – т.3, а глобальный максимум – в верхней границе – т. 4.

Контрольные вопросы

1. В каких вида могут представляться статистические данные социологических исследоваинй?

2. Какой метод позволяет представить табличные данные в виде математической формулы?

3. Почему представление данных в виде формулы лучше представления данных в виде таблицы?

4. Каково необходимое условие существования экстремума, его геометрический смысл?

5. Как проверить вид экстремума с помощью второй производной?

6. Какие точки функции являются критическими для анализа?