Качественный анализ заданных функций
Для того, чтобы исследовать функцию качественно (а не количественно – для каждой точки) узнать, как она изменяется, на каких участках растёт, где уменьшается, нужно определить её критические (ключевые) точки – точки пересечения с осями х и у, максимумы и минимумы, при этом у неё может быть не один, а несколько точек экстремума- несколько локальных максимумов и минимумов и два глобальных – наибольший из локальных максимум (максимум максиморум) и наименьший из локальных минимум (минимум миниморум). Для получения представления о характере изменения функции нет необходимости исследовать все точки функции на интервале её определения, достаточно найти, где она обращается в ноль (точки пересечения с осью х), какое значение имеет в начале коородинат (при х = 0) и найти все её экстремумы.
Таблица производных
Пример. Провести анализ функции у = 2х3 – х2 на интервале [-1, 1], построить примерный график изменения функции на заданном интервале.
Определим ключевые точки функции и отложим их на графике (рисунок 5). 1. Определим точки пересечения функции с осью ординат - осью у. Это будет при х =0, поэтому подставляем в уравнение функции значение х = 0 и получим у = 2∙ 03 – 02 = 0, т.е. при х = 0 величина у = 0. На графике появляется первая точка [0; 0].
2. Определим точки пересечения функции с осью абсцисс - осью х. для этого нужно приравнять функцию к 0 найти корни полученного уравнения:
Это возможно, если какой-либо из сомножителей (х или 2х2 – х) равен 0, отсюда: х1 = 0. Для второго сомножителя получим квадратное уравнение 2х2 – х =0. Решаем его:
Получим х2 = 0, обращается в 0 при х2 = 0 и
3. Определим значения функции на концах интервала: При х = -1 получим у = 2∙ (-1)3 – (-1)2 = -2 -1 = -3. Третья точка на графике: [-1; -3]. При х = 1 получим у = 2∙ (1)3 – (1)2 = 2 -1 = 1. Четвёртая точка на графике: [1; 1].
4. Находим экстремумы функции, для этого берём от неё производную и приравниваем её к 0: y' = (2х3 – х2)' = 3∙ 2∙ x2 -2∙ x или y' = 6x2 -2x = 0. Решаем это квадратное уравнение, вынося 2х за скобки: 2х(3х-1) = 0, отсюда получаем 2х = 0, т.е х1 = 0 или 3х-1 = 0 или 3х = 1, отсюда При х = 0 функция у = 0, при Таким образом, точки экстремумов имеют координаты: [0; 0] – пятая точка, (совпадает с т.1)и [0, 33; -0, 04] – шестая точка.
5. Проверим, какой вид экстремума находится в этих точках. Для этого берём вторую производную заданной функции, т.е. производную от уже имеющейся первой производной: y" = (6x2 -2x)' = 12x – 2. Подставляем в это уравнение корни первой производной. Если полученная величина будет отрицательна, то в точке находится максимум, если положительна, то минимум. Для точки [0; 0] получим, что12∙ 0 – 2 = -2 < 0, т.е. в пятой точке (т.1) находится максимум функции. Для точки [0, 33; -0, 04] получим, что12∙ 0, 33 – 2 = 1, 96 > 0, т.е. в шестой точке находится минимум функции.∙ Соединив полученные точки плавной кривой, получим качественный график функции у = 2х3 – х2 на интервале [-1, 1] – рисунок 6.
Вывод: заданная функция расположена в I, II и III-м квадрантах, в целом увеличивается, но в середине интервала имеет изгиб с локальными максимумом в т. 1 и минимумом в т.6. Глобальный минимум расположен на нижней границе интервала – т.3, а глобальный максимум – в верхней границе – т. 4. Контрольные вопросы 1. В каких вида могут представляться статистические данные социологических исследоваинй? 2. Какой метод позволяет представить табличные данные в виде математической формулы? 3. Почему представление данных в виде формулы лучше представления данных в виде таблицы? 4. Каково необходимое условие существования экстремума, его геометрический смысл? 5. Как проверить вид экстремума с помощью второй производной? 6. Какие точки функции являются критическими для анализа?
|
.
, т.е. функция у
.
.
