Двухиндексные задачи ЛП

Выполнить заказ по производству 32 изделий и 4 изделий взялись бригады и . Производительность бригады по производству изделий и составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9, 5 ч. Производительность бригады – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады – 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение. Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий. Изделия будут выпускаться двумя бригадами и . Поэтому необходимо различать количество изделий , произведенных бригадой , и количество изделий И₁, произведенных бригадой . Аналогично, объемы выпуска изделий бригадой и бригадой также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двухиндексную форму записи – количество изделий (j =1, 2), изготавливаемых бригадой (i =1, 2), а именно,

– количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.]; – количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.]; – количество изделий , изготавливаемых бригадой , [шт.]; – количество изделий , изготавливаемых бригадой , шт.].

Целевая функция

Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия и известны из условия.

Таким образом, ЦФ имеет вид

,

Ограничения

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

· общее количество изделий , выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий – 4 шт.;

· время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады – 9, 5 ч, а для бригады – 4 ч;

· объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами.

Таким образом, все ограничения задачи делятся на 3 группы, обусловленные:

1) величиной заказа на производство изделий;

2) фондами времени, выделенными бригадам;

3) неотрицательностью объемов производства.

Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде таблицы 1.

Таблица 1

Бригада	Производительность бригад, шт/ч	Фонд рабочего времени, ч
			9, 5
Заказ, шт

 

Ограничения по заказу изделий имеют следующий вид

и

.

Ограничение по фондам времени содержательную форму

и

.

Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия или , т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е.

.

Поэтому используя таблицу 1, получаем следующую информацию:

® ч тратит бригада на производство одного изделия ;

® ч тратит бригада на производство одного изделия ;

® ч тратит бригада на производство одного изделия ;

® ч тратит бригада на производство одного изделия .

Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде

и

.