Теоретические сведения. Принцип работы БЗ основан на математических расчётах, выполняемых по формуле Байеса

Принцип работы БЗ основан на математических расчётах, выполняемых по формуле Байеса.

Основные определения:

1. Несовместными называются события, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Например, появление " Орла" при бросании монеты исключает появление " Решки", эти события несовместны.

2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Например, для двух лотерейных билетов возможны 6 событий: А₁ - выиграл первый билет, А₂ - выиграл второй билет, А₃ - выиграли оба билета, А₄ - не выиграли оба билета, А₅ - не выиграл первый билет, А₆ - не выиграл второй билет. Эти 6 событий образуют полную группу.

3. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна 1.

4. Условной вероятностью Р (А|В) называется вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

5. Произведение двух событий А и В - это событие АВ, состоящее в совместной появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годная и окрашенная или поражение цели выстрелами из двух орудий.

Р(В|A) = Р(В) или Р(А) = Р(А|B),

т.е условная вероятность для независимых событий становится безусловной.

 

6. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению вероятности одного их них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)∙ Р(В|А)

7. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Р(А1 А2 А3… Аn) = P(A1)∙ P(A2|A1)∙ P(A3|A1A2) ∙ … ∙ P(An|A1A2…An),

где

P(An|A1A2…An) – вероятность появления события Аn, вычисленная в предположении, что события A₁A₂…An_-1 наступили. В частности, для трёх событий

Р(АВС) = Р(А) ∙ Р(В|A) ∙ Р(С|АВ) (1)

 

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий В₁, В₂, …, В_n наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

Р(А) = Р(В₁) Р(А| В₁) + Р(В₂) Р(А|В₂) + … + Р(В_i) Р(А|В_i) +... + Р(В_n) Р(А|В_n) =

= ∑ Р(В_i) Р(А|В_i) (2)

где

Р(В_i) – вероятность появления события В_i

Р(А|В_i) - вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В_i уже наступило (условная вероятность).

Допустим, что событие А уже наступило. Требуется определить, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже произошло, т.е найдём условные вероятности

Р(В₁|A), Р(В₂|A), …., Р (В_n|А)

Найдем сначала условную вероятность Р_А(В_i). По теореме умножения

Р(АВ_i) = Р(А)∙ Р(В_i|А) = Р(В_i)∙ Р(А|В_i), отсюда

.

Подставим вместо Р(А) её выражение из (2):

- формула Байеса (3)