Неограниченного роста

 

Пример2:

В 1937 г. на остров Протекшен завезли 8 фазанов. Никто на этих фазанов не охотился (ни люди, ни звери), корма для них было вдо­воль, и через год фазанов стало 26. Сколько бу­дет фазанов через п лет?

Необходимо построить компью­терную модель. Построение любой модели начинается с выделе­ния существенных факторов.

Факторов, влияющих на жизнь фазанов, много. Это и климатические условия, и конкретная погода в то или иное время года — холодная зима или засушливое лето отрица­тельно скажутся на росте популяции фазанов. Появление или быстрый рост вида животных, имеющих ту же кормовую базу, что и фазаны, тоже не будет способствовать процветанию фазаньего со­общества. Хорошо еще, что по условию на них никто не охотится.

Мы в принципе не можем учесть все существен­ные факторы, влияющие на жизнь фазаньего племени. Поэтому ес­тественно рассмотреть воздействие окружающей среды на числен­ность популяции фазанов как черный ящик. У него один вход — численность фазанов в некотором году и один выход — числен­ность фазанов в следующем году. Если обозначить количество фа­занов по истечении п лет через М(п), то схематично данный чер­ный ящик можно изобразить так:

Разгадать этот черный ящик, мы не можем. Но естественно предположить, что прирост числа фаза­нов за единицу времени пропорционален уже их имеющемуся ко­личеству. Это согласуется с обычными представле­ниями о размножении: чем больше живых организмов, тем больше у них потомков.

Высказанные предположения показывают, что для нашей моде­ли задачи существенна следующая информация: начальное количе­ство (обозначим его М(0)) и коэффициент прироста за 1 год (обо­значим его к).

k = (M(1) – M(0))/M(0) = (26-8)/8 = 2, 25

Пусть по истечению n лет количество фазанов достигло, как мы договорились, величины М(п). Тогда прирост за 1 год составит M(n+1) - М(п).

Значит, высказанные нами предположения можно записать ра­венством

M(n+1) - М(п) = кМ(п).

Преобразуя это равенство, получаем

M(n+1) = М(п) + kМ(п)

или

M(n+1) = (1+ k)М(п).

По этой формуле, зная начальное количество М(0) и коэффици­ент прироста к, можно сначала найти М(1), т. е. число фазанов, ко­торое будет через год, затем найти М(2) (количество фазанов через два года), затем М (3) и т. д.

В по­следовательности М{п) мы видим геометрическую прогрессию. Обнаруженную закономерность можно сформулировать так: если действие окружа­ющей среды сказывается лишь на скорости прироста, то живые ор­ганизмы размножаются в геометрической прогрессии. И совершен­но неважно, идет ли речь о фазанах или китах, о водорослях или гигантских секвойях. Мы построили модель некоторого природно­го процесса, и при этом не играет роли, какие именно живые ор­ганизмы участвуют в этом процессе.

Построенную модель называ­ют моделью неограниченного роста. Нами построена математическая модель задачи. Действительно, все пара­метры в ней числовые, а связи между параметрами выражаются функцией.

Упражнение 2: Подсчитайте вручную или в Excel (тем самым вы сделаете модель компьютерной) количество фазанов через 3 и 4 года.

Упражнение 3: Создайте компьютерную модель неограниченного роста массы растений в различных географических зонах Северного полушария. Для решения задачи используйте значения коэффици­ента размножения к, экспериментально полученными учеными - биологами для растений в разных природных зонах. Значение это­го коэффициента для различных природных зон приведено в таб­лице.

Природная зона	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
Коэффициент k	0, 6	1, 8	1, 2	0, 8

Исходная масса растений – 1 тонна. Сначала запишите Ваше мнение о том, через сколько лет масса растений превысит 100 т. в каждой из зон.

Природная зона	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
Коэффициент k	0, 6	1, 8	1, 2	0, 8
Мое мнение
Результат расчета

 

Компьютерная модель неограниченного роста растений на исследуемом участке должна получиться как на рисунке. Используя полученную модель, определите и запишите номер года, когда биомасса растений превысит значение 100 т. для каждой зоны и сравните с Вашим прогнозом.

Природная зона	Тундра	Тайга	Степь	Пустыня
Коэффициент к	0, 6	1, 8	1, 2	0, 8
мнение
расчет

 

 

Упражнение 4: Проделайте то же самое для значения 1000 тонн.

Опишите, что по вашему мнению является процессом в указанной модели, а что событием? Какое свойство (параметр) изменяется во времени?

Рассмотренная модель (а значит и система) оставляет ощущение нереальности, фантастичности из-за своей неограниченности. Таких систем не бывает.

Масса Зем­ли составляет 5 976 000 000 000 000 000 000 т. Через сколько лет, например, тайга «заменит» собой Землю?