Теоретические сведения. Колебаниями называются движения или процессы, которые ха­рактеризуются определенной повторяемостью во времени

Колебаниями называются движения или процессы, которые ха­рактеризуются определенной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых ко­леблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или

, (1)

где m – масса колеблющейся системы; х – смещение этой системы от положения равновесия; k – коэффициент упругости; – возвращающая сила.

Решением дифференциального уравнения (1) является уравнение колебательного движения, которое определяют выражением

.

где х – изменяющаяся величина; t – время; А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (рис.1); - циклическая (круговая) частота; - начальная фаза.

Рис.1

Физический смысл циклической частоты состоит в том, что она численно равна числу полных колебаний, совершаемых за секунд, т.е , где Т – период колебаний, т.е. время, за которое совершается одно полное колебание; – частота колебаний, т.е. число полных колебаний, совершаемых за единицу времени; – фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания – функция времени, она определяет значение изменяющего параметра (х – смещения; – скорости; а – ускорения) в данный момент времени. Например, фаза определяет, какую часть от амплитуды А составляет смещение х в данный момент времени:

,

где – начальная фаза колебания, т.е. фаза в момент времени t =0.

Если система совершает колебания около положения равновесия без воздействия внешних сил за счет первоначально сообщенной энергии, то такие колебания называются собственными или свободными. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний с учетом собственной частоты колебаний

. (2)

В качестве примера свободных колебаний рассмотрим колебания математического и физического маятников.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 2, а).

В положении равновесия (точка А) сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . Если маятник отклонить от положения равновесия в точку С на некоторый угол α, то составляющая силы , направленная вдоль нити , уравновесится силой натяжения нити , а другая составляющая силы тяжести , перпендикулярная нити, стремится вернуть маятник в положение равновесия. Эта сила является возвращающей силой, или квазиупругой силой. Квазиупругая сила – сила, не упругая по своей природе, но аналогичная упругой силе по виду ее зависимости от смещения, она всегда направлена в сторону, противоположную смещению, и при малых углах отклонения α пропорциональна смещению х.

а	б
Рис. 2

В точке С на маятник действует вращающий момент

, (3)

где L – плечо силы .

По основному закону динамики вращательного движения

(4)

где – момент инерции материальной точки; - длина нити. Приравнивая формулы (3) и (4), получим

или (5)

Полученное уравнение имеет вид, аналогичный дифференциальному уравнению (2), поэтому можно заменить . Тогда период собственных колебаний математического маятника

. (6)

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под дей­ствием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси подвеса О, не проходящей через центр масс тела С (рис. 2, б).

При отклонении маятника на угол α составляющая силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия. Для малых углов

. (7)

Возвращающий момент М, создаваемый силой

, (8)

где L = OC – плечо силы .

По основному закону динамики вращательного движения

(9)

где J – момент инерции маятника относительно оси О.

Из формул (8) и (9) имеем

,

. (10)

Уравнение (10) аналогично уравнениям (2) и (5), поэтому

. (11 )

Отсюда период собственных колебаний физического маятника

. (12)

Выражение называется приведенной длиной физического маятника.

Приведенной длиной физического маятника называется длина некоторого воображаемого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

С учетом приведенной длины период колебаний физического маятника будет иметь вид

(13)

Рис. 3

Точка К на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром тяжести С, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (рис. 3.). Приведенная длина всегда больше L, поэтому точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра тяжести.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса стано­вится новым центром качания. Следовательно, при переносе точки под веса в центр качания период колебаний маятника остается прежним. Это положение называется теоремой Гюйгенса.

Таким образом, если подобрать у физического маятника такие несимметричные относительно центра тяжести положения двух парал­лельных осей подвеса, чтобы период колебаний относительно них был одинаков, то расстояние между этими осями будет равно приведенной длине физического маятника. Измерив, это расстояние и период колеба­ний, можно по формуле (13) найти ускорение свободного падения g.