Основные положения. Скорость звука является одним из важнейших акустических параметров водной среды

Скорость звука является одним из важнейших акустических параметров водной среды. Значение скорости звука можно вычислить по формуле

, где – коэффициент объемной упругости; – плотность.

Напомним, что для воды при температуре 10° С и солености S = 15 ‰ (15 промилле) модуль объемной упругости = 2, 16х10¹⁰ дин/см².

В морских условиях под влиянием изменения температуры, солености и статического давления модуль объемной упругости и плотность воды претерпевают существенные изменения, вследствие чего скорость звука может принимать значения приблизительно в пределах от 1440 до 1540 м/сек. Зависимость скорости звука от температуры, солености и статического давления была установлена экспериментальным путем. Можно привести некоторые экспериментальные формулы, дающие наиболее точный результат:

Формула Вуда:

с= 1450+4, 206t – 0, 0366t² + 1, 137(S – 35) + 0, 0175h, (2.1)

где с – скорость звука, м/сек; t – температура, °С;

S – соленость, ‰; h – глубина, м.

Ошибка расчета по этой формуле минимальна при температурах, близких к 10°С, и различных значениях солености. При этих условиях разность между измеренным и расчетным значениями скорости звука не превышает 1, 5 м/сек. Наибольшая погрешность (6 м/сек) наблюдается для пресной воды при температуре 30° С.

Формула Дель-Гроссо:

с = 1448, 6 + 4, 618t – 0, 0523t² + 0, 00023t³ + 1, 25 (S– 35) –0, 011 (S – 35)t +0, 0027x 10^–5(S – 35)t⁴– 2x10^–7(S – 35)⁴ x(l +0, 577t –0, 0072t²) (2.2)

Обозначения здесь те же, что и выше. Формула справедлива для скорости звука у поверхности моря. Чтобы учесть влияние статического давления, возрастающего с глубиной линейно, необходимо к формуле приписать слагаемое, учитывающее изменение скорости звука с глубиной. В частности, согласно Вуду, это слагаемое равно 0, 0175h (h – глубина, м).

Формулы показывают, что с увеличением температуры, солености и статического давления скорость звука возрастает, причем с увеличением солености и статического давления – линейно. Так, например, приращению температуры на 1° С при температуре 20° С соответствует приращение скорости звука, равное 2, 7 м/сек, тогда как приращение солености на 1 ‰ и статического давления на 1 атм вызывает увеличение скорости звука на 1, 14 и 0, 175м/с соответственно. При количественной оценке изменения скорости звука пользуются понятием градиента. Обозначая через G_с градиент скорости звука, будем иметь:

(2.3)

где с (t, S, h) – функциональная зависимость скорости звука от температуры, солености и глубины. Воспользовавшись первой зависимостью для градиента в данной точке, получим:

G_c=dc/dh=(4, 21 – 0, 073t)dt/dh+1, 14dS/dh+0, 0175

Обозначая dt/dh=G_t; dS/dh=G_s, где G_t и G _s – градиенты температуры и солености соответственно получаем

G_с = (4, 21 – 0, 073t) G_t + 1, 140G_s+ 0, 0175 (2.4)

Здесь |G_c| 1/сек; G_t град/м; |G_s| ‰/м.

Последнее слагаемое в этом выражении отражает влияние статического давления. Изменение скорости звука действием каждого из факторов в отдельности учитывается соотношениями:

G_с (t) = (4, 21–0, 073t)G_t, G_c(S) = 1, 14G_s, G_c(Po) = 0, 175G_p, где Gp – градиент статического давления, Gp = 0, 1 атм/м.

Распределение скорости звука как по глубине, так и в горизонтальном направлении является следствием совокупного изменения температуры, солености и статического давления. Характер распределения скорости звука в основном определяется распределением температуры, но нередки случаи, когда ход изменения скорости звука существенно зависит от распределения солености и статического давления. Это имеет место в глубоких водоемах и в водоемах с резко меняющейся соленостью. Вертикальное распределение скорости звука в общих чертах следует сезонным изменениям температуры и солености. Однако сезонные изменения часто нарушаются. Таким образом, на закономерные временные изменения вертикального распределения звука накладываются изменения случайного характера. Тем не менее, можно указать типичные случаи вертикального распределения скорости звука, использующиеся в документах по применению ГАС НК (гидроакустических систем надводного корабля), которые будут приведены ниже.

Методы оценки поля в морской среде основаны на применяемых моделях акустических полей. Строгое решение задачи распространения акустических волн в ограниченных средах возможно с использованием методов волновой акустики. Основой волновых методов является решение волнового уравнения для заданных начальных и граничных условий. Для безграничной однородной среды решение волнового уравнения затруднений не вызывает. В реальной cpеде скорость звука является функцией пространственных координат (x, y, z). В первом приближении изменением скорости звука в функции координат х и у можно пренебречь. Такая модель соответствует так называемой слоисто–неоднородной среде, в которой скорость звука является только функцией глубины. Решение волнового уравнения с использованием метода Фурье при излучении гармонических волн с учетом цилиндрической симметрии задачи для среды с границами приводит к следующему результату:

, (2.5)

где z₀ и z – координаты источника и приемника соответственно; r – горизонтальное расстояние; – горизонтальные волновые числа; Н – функция Ганкеля первого рода нулевого порядка; – представляет вклад, даваемый неоднородными (экспоненциально затухающими с расстоянием) волнами и боковой волной.

Сумма в правой части (2.5) описывает совокупность нормальных волн, которые являются стоячими в направлении оси z и бегущими с фазовой скоростью v = в направлении оси r. Такие волны называют нормальными волнами или модами, поскольку они соответствуют движениям, при которых вся среда колеблется с одной частотой . Амплитуды нормальных волн на больших расстояниях убывают обратно пропорционально расстоянию (цилиндрический закон спада). Боковые волны распространяются вдоль границы среды со скоростью, равной скорости распространения волн в этих средах. Амплитуды боковых волн убывают с расстоянием по закону 1/ r². Нормальные волны определяют величину акустической энергии, захваченной волноводом и имеют доминирующее значение на больших расстояниях от источника. При отсутствии волноводных эффектов, а также на небольших расстояниях в формировании поля играют важную роль боковые волны.

Таким образом, акустическое поле, являясь суперпозицией определенного числа нормальных волн, имеет сложную интерференционную структуру. Хотя определение амплитуды и фазы каждой нормальной волны не представляет принципиальной трудности, их суммирование может оказаться весьма сложной задачей. Количество нормальных волн определяется соотношением толщины слоя к длине волны Н/ . На больших расстояниях число нормальных волн может быть весьма велико, что создает трудности при вычислении.

Расчет поля с использованием волнового уравнения правомерен в достаточно широком диапазоне частот, начиная от 1 Гц до десятков кГц. Однако в большинстве случаев решение волнового уравнения заканчивается интегральным представлением. Доведение решения до суммы нормальных воли оказывается возможным только для весьма ограниченного числа сравнительно простых профилей c(z), не охватывающих всего многообразия встречающихся в практике распределений. Как интегральное представление, так и решение в виде суммы нормальных волн не позволяют довести задачу о поле точечного источника до результатов, поддающихся анализу и наглядной физической интерпретации.

Отмеченные трудности математического и вычислительного плана, отсутствие возможности физической интерпретации результатов привели к разработке приближенных методов расчета полей в океанической среде, к числу которых в первую очередь следует отнести методы, основанные на лучевой (геометрической) теории.

Лучевая теория является асимптотическим решением волновой теории и дает удовлетворительные результаты только при , т. е. в области высоких частот.

Основными достоинствами лучевой теории является ее сравнительная простота, наглядность, возможность оценки поля практически для любых профилей скорости звука, неизменных в пространстве. Широкое развитие компьютерных технологий увеличило сферу применения лучевой теории. Можно сказать, что лучевой анализ в прикладной гидроакустике в настоящее время преобладает над волновой теорией.

В то же время лучевая теория имеет целый ряд существенных недостатков. Она не дает правильного результата на каустиках, в фокальных точках, в зоне тени, при расположении источника и приемника звука вблизи дна. Лучевая теория не учитывает частотную зависимость параметров поля (фактора фокусировки), что противоречит физике явления.

Основой лучевой (геометрической теории) акустического поля является представление об акустических лучах, перпендикулярных волновой поверхности в каждый момент времени, вдоль которых осуществляется перенос акустической энергии.

Два луча, выходящие из источника звука с углами скольжения и образуют энергетическую трубку (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Энергетическая трубка

 

В соответствии с законом сохранения энергии, амплитуда давления в некоторой точке может быть определена из следующего очевидного соотношения:

, (2.6)

где S₁, S₂ – площади поперечного сечения энергетической трубки в точках 1 и 2; p₁, p₂ – давления в точках 1 и 2; – параметры среды.

Нетрудно видеть, что подобным способом амплитуду волны на любом расстоянии в пределах энергетической трубки можно связать с начальной амплитудой точечного источника. Исключением являются фокальные точки 1, 2 и окрестности каустик, где S₂ = 0. Лучевая теория позволяет вычислить и фазу импульса, распространяющегося вдоль луча. Применительно к рис. 2.1 для набега фазы вдоль луча от точки 1 до точки 2 будет справедливо , где – время пробега импульса вдоль луча.

Таким образом, для расчета поля необходимо определение площади поперечного сечения элементарных энергетических трубок, что в свою очередь, требует расчета траекторий акустических лучей при заданном распределения скорости звука в функции пространственных координат. В слоисто–неоднородной среде касательная к траектории луча должна удовлетворять закону Снеллиуса:

c(z₀)/cos =c(z₁)/cos = c (z₂)/cos =...= c(z_i)/cos = c_г(z). (2.7)

Величина c_гявляется скоростью звука на горизонте, где луч горизонтален ( =0. Луч претерпевает полное внутреннее отражение). Выражение (2.7) показывает, что угол скольжения на некотором горизонте z_i, – определяется углом на горизонте z₀, отношением скоростей с(z_i)/c(z₀) и не зависит от значений скорости звука в промежуточных слоях:

c(z₀)/cos = c_Г(z).

Траектория акустического луча. Пусть скорость звука является линейно–убывающей функцией глубины (рис. 2.2):

c(z) =с₀[1–а (z–z₀)],

где с₀ – скорость звука на глубине излучателя z₀; a= – относительный градиент скорости звука.

Рис. 2.2. Траектория акустического луча при постоянном градиенте скорости звука

 

В соответствии с законом Снеллиуса луч будет рефрагировать вниз. Из бесконечно малого элемента луча имеем dr =| dz / tg |.

Полное горизонтальное расстояние, проходимое лучом, равно:

(2.8)

После вычислений получаем:

(2.9)

Из (2.9) видно, что при а = const траекторией луча является дуга окружности радиуса =l/ a cos с координатами центра в точке R_ц= tg z_ц=z₀+1/ a.

В случае произвольного профиля скорости звука траектория луча может быть представлена как сопряжение дуг окружностей различных радиусов. Зависимость c(z) при этом апроксимируется линейными отрезками.

Фактор фокусировки. В рамках лучевой теории интенсивность звука, развиваемая некоторым источником, определяется законом расширения лучевой трубки, если допустить, что энергия не выходит за ее границы (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3. К определению фактора фокусировки

 

Определение фактора фокусировки как отношения силы звука в реальной среде к силе звука в однородной среде применительно к большим расстояниям имеет вид:

(2.10)

Таким образом, акустическое поле источника будет определено, если известна аналитическая зависимость для горизонтального расстояния r и существует производная от него по углу выхода луча из источника. Фактор фокусировки может быть больше и меньше единицы. Лучевая теория достаточно точно определяет траекторию звуковых лучей, если на длине акустической волны скорость звука может считаться неизменной. Количественно это выражается неравенством a < < 1, где а – относительный градиент скорости звука.

Л. М. Бреховских для случая положительной рефракции получил еще одно условие применимости лучевой теории, ограничивающее значение угла скольжения на заданном горизонте в зависимости от градиента скорости звука и частоты:

sin (2.11)

Эти выражения являются условиями применимости лучевой теории. Фактор фокусировки обращается в бесконечность в точках заворота луча (a (r) =0) и в области каустик, где дr/ да₀=0.