Метод трифилярного подвеса

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 7).

Центры дисков расположены на одной вертикальной оси , вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси .

 

Рис. 7. Трифилярный подвес

 

При повороте нижнего диска на угол j вокруг оси его перемещение равно h (рис. 8), а приращение потенциальной энергии

,

где m – масса нижнего диска.

 

Рис. 8. Трифилярный подвес при повороте на угол φ 0

В процессе крутильных колебаний, нижний диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения, т.е.

,

где I – момент инерции диска относительно оси , w – угловая скорость диска, – скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей (при малых углах поворота), пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол j его поворота изменяется со временем по гармоническому закону

,

где – амплитуда углового смещения, T – период колебаний диска.

Изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой обладает диск в момент прохождения положения равновесия, т.е.

,

где – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Из последнего равенства следует момент инерции диска

.

(4)

Поскольку угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

,

то, максимальная угловая скорость равна

.

(5)

Высоту h, на которую поднимается диск, можно определить из геометрических соображений (рис. 8)

.

(6)

Но

, .

(7) (8)

С учетом соотношений (7), (8) равенство (6) можно записать в виде

.

При малых углах можно считать, что , а . Таким образом

.

(9)

Подставляя (5), (7), (9) в (4) и заменяя в формуле радиусы дисков на диаметры, получим

.

(10)

Формулу (10) можно применять не только для расчета момента инерции диска относительно оси , но и для расчета момента инерции диска с грузами. Тогда момент инерции груза можно найти

,

(11)