Основы логики
Основы логики 1. Основные понятия: Логика – это наука о формах и способах мышления. Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта, например, понятие «ПЕРСОНАЛЬНЫЙ КОМПЬЮТЕР» можно раскрыть следующим образом: ПК это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации. ПК это универсальное электронное устройство, предназначенное для одного пользователя Высказывание –это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношений между ними. Например, 2*2=4. Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Например, если мы имеем суждение «Все углы треугольника равны», то мы можем путем умозаключений доказать, что справедливо суждение «Этот треугольник равносторонний». Упражнения: Какие из приведенных ниже предложений являются высказываниями?
2) 2 х 2 =4 3) 2< 3 4) 3> =5 5) Площадь отрезка больше длины куба 6) Маслины вкуснее ананасов 7) Стой! Куда идешь? 8) Х – четное число 9) Слава Российским школьникам! 10) Х< 2, xÎ R 11) Солнце вращается вокруг Земли 12) В романе Толстого «Война и мир» 14563970 слов 13) Да здравствует Солнце! Да скроется тьма! 14) Студент первого курса 15) Число 3 удовлетворяет неравенству 3х+25< =0
2. Логические операции. Отрицание. Обозначение: Ø в естественном языке соответствует частице не; Ø в алгебре высказываний обозначение Ø в языках программирования обозначение Not. Отрицание это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. Таблица истинности
Примеры: 1. А= «Лев Толстой – автор романа «Война и мир»». 2. В= «Треугольник АВС прямоугольный». 3. Среди следующих пар высказываний выберите те, которые являются отрицанием друг друга: a) 5< 2 и 5> 2 b) 5< =3 и 5> =3 c) 5< 4 и 5> =4 d) Число 3 положительное и число 3 отрицательное e) Число 4 четно и Число 4 нечетно f) Вечером я пойду в кино и Вечером я пойду в театр.
Конъюнкция (логическое умножение). Обозначение: Ø в естественном языке соответствует союзу и; Ø в алгебре высказываний обозначение &, Ù; Ø в языках программирования обозначение And. Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Таблица истинности
A & B=B & A A & 1 = A A & 0 = 0 A & A = A Примеры: 4. Запись 2 < 4 < 7 является конъюнкцией двух высказываний: (2 < 4) & (4 < 7) 5. Студенты готовятся к экзаменам по конспектам и учебникам 6. Определить истинность: (23 > 7) & (2> 7) (2*3> =6) & (3*3> 7) 7. Определить значение А, если следующие высказывания истинны: A & (2*2< =5) A & (2*2< =4)
Дизъюнкция (логическое сложение). Обозначение: Ø в естественном языке соответствует союзу или; Ø в алгебре высказываний обозначение Ú; +; Ø в языках программирования обозначение Or. Дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Таблица истинности
A Ú B=B Ú A A Ú 1 = 1 A Ú 0 =А A Ú A = A Примеры: 8. Запись 5> =2 является дизъюнкцией двух высказываний: (5> 2) Ú (5=2) 9. 2*1=4 или «Белые медведи живут в Африке» 10. Сегодня в 19.00 я пойду в кино или в театр. 11. Определить истинность: (23 > 7) Ú (2 > 7) 12. (2*3> =6) Ú (3*3> 7) 13. Определить значение А, если следующие высказывания: A Ú (3*3> 5)=1 14. A Ú (2*2> =5)=0 15. Упражнения. Логические операции выполняются над целыми двоичными числами:
2. Диаграммы Выражения, зависящие от небольшого количества переменных (обычно не более четырех), удобно изображать в виде диаграмм, которые называют диаграммами Венна, или кругами Эйлера. На такой диаграмме каждой переменной соответствует круг, внутри которого она равна единице, а вне его — нулю. Круги пересекаются, каждый с каждым. Области, в которых рассматриваемое логическое выражение истинно, закрашиваются каким-либо цветом. Ниже приведены диаграммы для простейших операций с одной и двумя переменными. Серым цветом залиты области, где рассматриваемое выражение равно единице.
Такие диаграммы часто используются при работе с множествами: операция “И” соответствует пересечению двух множеств, а “ИЛИ” — объединению. Для трех переменных диаграмма будет немного сложнее. Для каждой из областей, показанной ниже диаграммы, запишем логические выражения:
Для того чтобы найти выражение для объединения двух или нескольких областей, надо сложить (используя логическое сложение — операцию “ИЛИ”) выражения для всех составляющих. Например, выражение для объединения областей 3 и 4 имеет вид 3 + 4: С другой стороны, можно заметить, что справедлива формула 3 + 4: Это означает, что логические выражения в некоторых случаях можно упростить. Диаграммы удобно применять для решения задач, в которых используются множества, например, множества ссылок, полученных от поисковой системы в ответ на какой-то запрос. Рассмотрим такую задачу: 16. Известно количество ссылок, которые находит поисковый сервер по следующим запросам (здесь символ “ & ” обозначает операцию “И”, а “|” — операцию “ИЛИ”):
|
, Ø А;
+ 
.
.
