Как обработать результаты измерений
Точно измерить физическую величину невозможно, поэтому результаты измерений всегда носят приближённый характер. Задача любого опыта – установить степень этой приближённости, т.е. определить погрешность измерений. Все погрешности подразделяются на систематические, случайные и промахи. Для учёта случайных погрешностей при многократных прямых измерениях какой-либо физической величины производят их математическую обработку с помощью теории вероятностей. В условиях учебного процесса можно использовать её упрощенный вариант, который включает в себя определение среднего арифметического значения < х > измеряемой величины х, абсолютной погрешности Δ х и относительной погрешности ε х опыта. 1. Пусть произведено n измерений величины х, и в результате был получен ряд значений х1, х2 , …, хn. За наиболее близкое значение к истинному значению хи измеряемой величины х принимают её среднее арифметическое
2. Абсолютной погрешностью опыта (серии измерений) называют величину,
где 3. Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используется понятие относительной погрешности:
Таким образом, относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины. Пример. При измерении толщины h стеклянной пластинки с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в табл. 1: Таблица 1.
Результаты измерений толщины стеклянной пластинки
При косвенных измерениях искомую величину вычисляют по результатам прямого измерения других величин, связанных с искомой определённой функциональной зависимостью y = f (x1, х2, …, хn). Абсолютная и относительная погрешности некоторых простейших функций приведены в табл.2.
Таблица 2 Погрешности при косвенных измерениях в простейших случаях
Когда функция y = f (x1, х2, …, хn) удобна для логарифмирования, то вначале лучше рассчитать относительную погрешность ε y функции (в %) и затем её абсолютную погрешность
Пример. Ускорение свободного падения g определяется по результатам измерений периодов колебаний Т 1 и Т 2 двух математических маятников с длинами l 1 и l 2 соответственно (l 1 > l 2) по формуле
где a = l 1 - l 2. Логарифмирование даёт ln g = ln(4π 2) + ln a – ln
(предполагается, что погрешности независимых измерений Δ a, Δ Т 1 и Δ Т 2 усиливают друг друга, и поэтому их влияние учитывается в формуле со знаком плюс). Затем найдём абсолютную погрешность
Окончательный результат вычислений – среднее арифметическое измеряемой величины записывают в виде числа из нескольких разрядов. Цифры в этом числе делятся на значащие и незначащие. К значащим цифрам относятся все верные и сомнительные цифры. К незначащим относятся: а) нули в начале числа, определяющие разряды десятичных дробей в числах меньших единицы; б) нули в конце числа, заменившие цифры после округления; в) неверные цифры, если они не были отброшены. Для определения значащих цифр в результате измерения необходимо вычислить абсолютную погрешность опыта, числовое значение которой тоже может содержать несколько разрядов. Но абсолютная погрешность показывает, в каком разряде полученного результата содержится неточность. Поэтому её числовое значение всегда округляется до одной значащей цифры, кроме того, в случае когда эта цифра представляет единицу – в этом случае округление производится до цифры первого младшего разряда. Тогда сохранение цифр меньших разрядов в среднем арифметическом измеряемой величины теряет смысл. Пример. В нескольких опытах по результатам измерений периода колебаний математического маятника было проведено с различной погрешностью определение ускорения свободного падения: неправильная запись результата правильная запись результата
g = (10, 1835±0, 433) м/с2 g = (10, 2±0, 4) м/с2 g = (9, 8167±0, 053) м/с2 g = (9, 82±0, 05) м/с2 g = (9, 9423±0, 132) м/с2 g = (9, 94 ±0, 13) м/с2 g = (10, 8261±2, 026) м/с2 g = (11±2) м/с2
При записи измеренного значения х последней, таким образом, должна указываться цифра того десятичного разряда, который был использован при указании погрешности. Это правило должно соблюдаться и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Пусть, например, при вычислении g в предыдущем опыте было получено значение 9, 88 м/с2 (точно), а погрешность составила ± 0, 004 м/с2, то окончательный результат следует представить в таком виде: g = 9, 880± 0, 004 м/с2. При записи окончательного результата измерения наряду с основными единицами СИ и производными от них допускаются к применению кратные единицы (например, см, МПа, мВ и т.д.) в тех случаях, когда это упрощает запись. Полученные в ходе эксперимента результаты часто изображают в виде графика. При построении графика чаще всего пользуются прямоугольной системой координат, причем значения аргумента откладывают по горизонтальной оси, а значения функции по вертикальной оси. Начало координат не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями функции и аргумента. При выборе масштаба величин, откладываемых на осях координат, исходят из того, чтобы получить примерно равные отрезки, которые соответствуют установленным в опыте интервалам численных значений функции и аргумента. Например, по результатам измерения показателя преломления п водного раствора глюкозы был построен график п= п(с), где с - концентрация глюкозы (рис.1). На рис.1а график удовлетворяет необходимым требованиям. На рис. 1б из-за неудачного выбора масштаба и начала отсчета для п зависимость п(с) почти незаметна, и такой график бесполезен для практического применения.
Рис. 1
Использование гpафических методов облегчается в тех случаях, когда гpафик представляет собой прямую линию. С целью " спрямления" гpафика исследуемой зависимости, имеющей сложный характер, целесообразно использовать нелинейные шкалы, например, логарифмическую, квадратичную и т.д. или откладывать не сами величины аргумента и функции, а их логарифмы, степени, обратные значения. Например, в работе " Исследование теплового излучения чёрного тела" с целью экспериментальной проверки закона Стефана – Больцмана Rэ=σ Т 4, где Rэ – энергетическая светимость тела, а Т – его абсолютная температура, по оси абсцисс откладывают Т, а по оси ординат - Выбрав рациональные масштаб и размеры гpафика, на координатные оси наносят деления через 10-20 мм и обозначают их. Затем наносят экспериментальные точки, с которыми совмещают прямоугольные крестики, размеры которых вдоль осей координат Ох и Оу равны удвоенным погрешностям соответственно 2Δ х и 2Δ у в выбранном масштабе. По отмеченным точкам проводят линию так, чтобы она прошла как можно ближе к экспериментальным точкам, и чтобы равное количество их оказалось по обе стороны от этой линии. Для построения графиков, как правило, используют масштабно-координатную (миллиметровую) бумагу. Если в лабораторной работе по графику определяется какая-либо константа, например, как угловой коэффициент экспериментальной прямой y = x0+kx, то в этом случае тангенс угла α наклона прямой к оси абсцисс может быть определён только с учётом соответствующих масштабов и единиц измерения.
Отчет завершает лабораторную работу и обобщает результаты всех предыдущих этапов её выполнения. Поэтому в нём обязательно должны содержаться: 1) цель работы; 2) перечень приборов и принадлежностей; 3) необходимые теоретические сведения; 4) рисунок (схема) лабораторной установки; 5) краткий порядок выполнения работы; 6) рабочие формулы с обязательной расшифровкой входящих в них величин; 7) таблицы с экспериментальными данными; 8) оценка надёжности и достоверности результатов - расчет абсолютной и относительной погрешности для величин, полученных прямыми и косвенными измерениями; 9) окончательный результат работы с учётом полученных погрешностей и 10) общие выводы по работе. Первые пять пунктов отчета были Вами написаны при подготовке к выполнению лабораторной работы, поэтому, если в ходе беседы с преподавателем им не были сделаны замечания, то подготовленный материал может быть использован для окончательного оформления отчета. Выполняя обработку результатов измерений, приведите в отчёте примеры вычисления значений искомых величин. Производя вычисления, записывайте прежде всего формулу, затем подставляйте в неё числовые значения всех величин и затем находите окончательный результат. Если в ходе опыта какая-то величина определялась при разных условиях (снималась её зависимость от другого параметра), то достаточно привести только один пример вычисления, указав номер измерения из таблицы. В конце отчёта приводятся: - значение искомой физической величины с указанием погрешности её определения и точности измерений; - анализ полученных результатов и, если это возможно, сравнение экспериментально полученного и табличного значений физической величины; - выводы, вытекающие из экспериментальных данных.
Основные физические постоянные (округлённые значения)
|
.
,
- абсолютное значение разности между величиной хi, полученной в i – том измерении и средним значением < х >. Абсолютная погрешность опыта характеризует таким образом качество проведённых измерений, т. е. указывает, на сколько истинное значение измеряемой величины может отличаться от значения, измеренного в опыте.
.
.
,
. После дифференцирования ln g с заменами da на Δ a и dТ на Δ Т получим:
, где 
.
.
