Закон больших чисел

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Лемма 1 (неравенство Маркова). Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. . Тогда для любого

,

где М (Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события и противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

.

 

 

Пример 9.1. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150 000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50 000 л.

Решение. Используя неравенство Маркова в виде , получим .

Ответ: .

 

 

Пример 9.2. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

Решение. Согласно неравенству , имеем .

Ответ: .

 

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого

.

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого

.

 

Пример 9.3. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратичное отклонение этой величины равно 0, 2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0, 4 мм.

Решение. Для оценки вероятности используем неравенство Чебышева

,

.

Ответ: .

 

 

Пример 9.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20 000 кВт/ч, а среднеквадратичное отклонение — 200 кВт/ч. Какого потребления электроэнергии в этом населенном пункте можно ожидать в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0, 96?

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева . Подставим в правую часть неравенства вместо величину , сделаем ее большей или равной 0, 96:

.

Следовательно, в этом населенном пункте можно ожидать с вероятностью не меньшей 0, 96 потребление электроэнергии , т.е. .

Ответ: от 19 000 до 21 000.

 

 

Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная

.

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

,

которое вытекает из неравенства Чебышева.

 

 

Пример 9.5. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0, 5 мм.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , Итак, искомая вероятность

Ответ:

 

Частными случаями теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

 

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности р = Р (А):

,

где — сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Бернулли получаем такую оценку

, которая применяется на практике.

 

Теорема Пуассона. Если производится независимых опытов и вероятность появления события А в -м опыте равна , то при увеличинении частость события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей :

,

где — сколь угодно малое положительное число. При доказательстве этой теоремы используется неравенство

,

имеющее практическое применение.

 

Пример 9.6. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0, 05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .

 

Пример 9.7. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0, 9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0, 95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0, 9 не превысит 0, 01?

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .