Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных случайных величин Х и соответствует одно возможное значение случайной величины то называют функцией двух случайных аргументов Х и и пишут

.

Если Х и дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции , надо найти все возможные значе­ния , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного , и каждого возможного значения равного , вычислить значение равное . Вероятности найденных возможных значений равны произведениям вероятностей и .

 

 

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и заданы распределениями:

 

Х	–2	–1
Р	0, 3	0, 1	0, 5	0, 1

 

Y
Р	0, 4	0, 1	0, 5

 

Найти распределения случайных величин: а) б) в) г)

Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины надо найти все возможные значения и их вероятности. Все вычисления поместим в таблицу

 

Х					2
–2		–1	–5	–2	–2	0, 3 · 0, 4 = 0, 12
–2			–6	–4	–8	0, 3 · 0, 1 = 0, 03
–2			–7	–6	–18	0, 3 · 0, 5 = 0, 15
–1			–3	–1	–1	0, 1 · 0, 4 = 0, 04
–1			–4	–2	–4	0, 1 · 0, 1 = 0, 01
–1			–5	–3	–9	0, 1 · 0, 5 = 0, 05
						0, 5 · 0, 4 = 0, 20
						0, 5 · 0, 1 = 0, 05
						0, 5 · 0, 5 = 0, 25
						0, 1 · 0, 4 = 0, 04
						0, 1 · 0, 1 = 0, 01
						0, 1 · 0, 5 = 0, 05
						1, 00

 

Объединив одинаковые значения и расположив их в порядке возрастания, получим следующие распределения:

а)

 

	–1
	0, 12	0, 07	0, 16	0, 05	0, 20	0, 09	0, 26	0, 05

 

б)

 

	–7	–6	–5	–4	–3
	0, 15	0, 03	0, 17	0, 01	0, 04	0, 25	0, 05	0, 25	0, 01	0, 04

 

в)

 

	–6	–4	–3	–2	–1
	0, 15	0, 03	0, 05	0, 13	0, 04	0, 20	0, 04	0, 05	0, 01	0, 25	0, 05

 

г)

 

	–18	–9	–8	–4	–2	–1
	0, 15	0, 05	0, 03	0, 01	0, 12	0, 04	0, 2	0, 04	0, 05	0, 01	0, 25	0, 05

 

Если Х и непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения суммы (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале одной формулой) может быть найдена по формуле

либо по равносильной формуле

где и — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения величины находят по формуле

либо по равносильной формуле

В том случае, когда обе плотности и заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности величины целесообразно сначала найти функцию распределения , а затем продифференцировать ее по

.

Если Х и — независимые случайные величины, заданные соответству­ющими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки в область равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

 

 

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины Х и заданы плотностями распределений , . Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины

Решение. Используем формулу Тогда

Ответ: .

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и в интервале (0; 2), вне этого интервала , в интервале (0; 3), вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график распределения .

Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством , — неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

 

 

Рис. 10.1

 

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости которые лежат ниже прямой если же брать только возможные значения х и у, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой С другой стороны, так как величины Х и независимы, то

где — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой Величина этой площади зависит от значения

Если то т.е.

Если , то

Если , то

.

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Найдем плотность распределения

Построим график этой функции (рис. 10.2)

 

Рис. 10.2