Поворот. Рассмотрим треугольник ABC (рис.1.2) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат

Рассмотрим треугольник ABC (рис.1.2) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат

[T] =		0 1 -1 0

Если использовать матрицу (3 х 2), состоящую из координат x и y вершин треугольника, то можно записать

	3 -1 4 1 2 1			0 1 -1 0	=		3 -1 4 1 2 1

что является координатами результирующего треугольника A*B*C*. Поворот нв 180° относительно начала координат достигается путем следующего преобразования

[T] =		-1 0 0 -1

а на 270° относительно начала координат - преобразованием

[T] =		0 -1 1 0

Разумеется, что матрица тождественного преобразования

[T] =		1 0 0 1

соответствует повороту вокруг начала координат на 0° или на 360°.

Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол θ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки Р (рис. 1.3). Обозначим r - длину вектора, а φ - угол между вектором и осью х. Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол θ и попадает в точку Р*. Записав векторы положений для Р и Р*, получаем:

Р = [х у] = [r cosφ r sinφ ]

и

Р* = [x* у*] = [r соs(θ + φ) r sin(θ + φ ].

Используя формулу для cos суммы углов, перепишем выражение для Р* следующим образом

Р* = [x* у*] = [r(cosφ cosθ - sinφ sinθ) r(соsφ sinθ + sinφ cosθ)].

Используя определения х и у, можно переписать Р* как

Р* = [x* у*] = [x cosθ - y sinθ x sinθ + y cosθ ].

Таким образом, преобразованная точка имеет координаты

x* = x cosθ - y sinθ
y* = x sinθ + y cosθ.

Или в матричном виде

[X*] = [X][T] = [x* y*] = [x y]		cosθ sinθ -sinθ cosθ

Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол θ задается матрицей

[T] =		cosθ sinθ -sinθ cosθ