Поворот. Рассмотрим треугольник ABC (рис.1.2) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат
Рассмотрим треугольник ABC (рис.1.2) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат
Если использовать матрицу (3 х 2), состоящую из координат x и y вершин треугольника, то можно записать
что является координатами результирующего треугольника A*B*C*. Поворот нв 180° относительно начала координат достигается путем следующего преобразования
а на 270° относительно начала координат - преобразованием
Разумеется, что матрица тождественного преобразования
соответствует повороту вокруг начала координат на 0° или на 360°. Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол θ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки Р (рис. 1.3). Обозначим r - длину вектора, а φ - угол между вектором и осью х. Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол θ и попадает в точку Р*. Записав векторы положений для Р и Р*, получаем: Р = [х у] = [r cosφ r sinφ ] и Р* = [x* у*] = [r соs(θ + φ) r sin(θ + φ ]. Используя формулу для cos суммы углов, перепишем выражение для Р* следующим образом Р* = [x* у*] = [r(cosφ cosθ - sinφ sinθ) r(соsφ sinθ + sinφ cosθ)].
Р* = [x* у*] = [x cosθ - y sinθ x sinθ + y cosθ ].
Таким образом, преобразованная точка имеет координаты x* = x cosθ - y sinθ Или в матричном виде
Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол θ задается матрицей
|
