Полиномиальный

Явный вид задания полинома:

у = ао + ai_x + 32Х +.. + a_nxⁿ

Параметрический вид задания полинома:

х = а_Ох + aj_xt + a_2xt² +...... + a_nxtⁿ

у= ао_у + ai _y t + a2 _y t² +,... + a_nytⁿ

Переход от представления контура в виде параметрической кубической кривой к кусочно-линейному представлению

Используется для упрощения вычисления размеров контура, например, для вычисления длины контура, площади внутри контура и т.д.

При конструировании пространственных форм (этим занимается геометрическое моделирование) возникают задачи трёхмерного представления поверхностей в пространстве. Рассмотрим одно из наиболее широко распространённых представлений, а, именно, параметрические кубические полиномы. Итак, почему кубический полином (то есть кривая описывается многочленом третьей степени)? Потому что кубический многочлен является параметрической функцией наиболее низкой степени, с помощью которой можно представить кривую, описывающую реальную пространственную кривую. Имеется много способов представления параметрических бикубических кривых. Рассмотрим один из них: кривые Безье.

Преимущество параметрических кубических кривых - нет разрывов.

Кривые Безье

Безье (1970) перегруппировал члены параметрического кубического многочлена Фергюссона и получил кривую следующего вида:

r= r(t) = (l-t)³po + 3t(l-t)²_Pl+3t²(l-t)p₂ + t³p3,

0< t< l

Ценность этой кривой в том, что для своего построения она требуют задания всего 4 точек. Две из четырех прямых, соединяющих эти четыре точки, будут являться касательными для кривой Безье и их взаимное расположение определяет форму кривой Безье.

Свойства кривой Безье

Кривая Безье является гладкой кривой.

2. Начинается в 1-ой вершине ро массива из четырёх точек р₀, pi, рг, рз, касается отрезка
popi и заканчивается в последней точке р₃, касаясь отрезка ргРз-

3. Лежит в выпуклой оболочке, порожденной массивом точек р₀, pi, p₂, Рз-

4. Симметрична, то есть сохраняет свою форму при перемене порядка вершин массива на
противоположный: р₀, р_ь р₂, Рз Рз, Рг, Рн Ро •

5. Если точки ро, pi, P2, Рз лежат на одной прямой, то кривая Безье совпадает с отрезком
РоРз-

6. Если точки ро, pi, P2, Рз лежат в одной плоскости, то кривая Безье тоже лежит в этой
плоскости.

7. Изменение положения хотя бы одной из четырёх опорных точек приводит к заметному
изменению всей кривой Безье.

8. В уравнении, описывающем кривую Безье, нет свободных параметров - заданный набор
из четырёх точек однозначно определяет кривую Безье, не давая возможности повлиять
на её форму.