Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Преобразование пересекающихся прямых





Результатом преобразования с помощью (2х2)-матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем это на примере двух прямых, заданных уравнениями:

y = m1x + b1
y = m2x + b2

В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:

   
[X][T] = [x y] -m1 -m2 1 1 = [b1 b2]
     

или

[X][M] = [B]

Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,

[Xi] = [xi yi] = [B][M] -1

Матрица, обратная [М], имеет следующий вид:

   
    1 m2 - m1 -1 m2 - m1   m2 m2 - m1 -m1 m2 - m1
   
             

так как [M][M] -1 = [E], где [E] - единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:

   
[Xi] = [xi yi] = [b1 b2]   1 m2 - m1 -1 m2 - m1   m2 m2 - m1 -m1 m2 - m1
   
             

 

   
[Xi] = [xi yi] =   b1 – b2 m2 - m1   b1m2 - b2m1 m2 - m1
   
             

Если обе линии преобразовать с помощью (2х2)-матрицы общего преобразования вида:

   
[T] = a b c d
   

то их уравнения будут иметь вид

y* = m1*x* + b1*
y* = m2*x* + b2*

Соответственно можно показать, что

mi* = b + dmi a + cmi

и

bi* = bi(d - cmi*) = bi ad - bc a + cmi где i = 1, 2.

Точка пересечения линий после преобразования отыскивается таким же образом, что и в случае исходных линий:

   
[Xi*] = [xi* yi*] =   b1* - b2* m2* - m1*   b1*m2* - b2*m1* m2* - m1*
   
             

Воспользовавшись тремя предыдущими выражениями, получим:

   
[Xi*] = [xi* yi*] =   a(b1 - b2) + c(b1m2 – b2m1) m2 - m1   b(b1 - b2) + d(b1m2 - b2m1) m2 - m1
   
             

Возвращаясь теперь к точке пересечения [xi yi] исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем

       
[xi* yi*] = [xi yi][T] =   b1 – b2 m2 - m1   b1m2 - b2m1 m2 - m1   a b c d =
         
                       

 

   
=   a(b1 - b2) + c(b1m2 – b2m1) m2 - m1   b(b1 - b2) + d(b1m2 - b2m1) m2 - m1
   
             

Сравнение уравнений точек пересечения исходных линий и преобразованных показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 584. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия