Преобразование пересекающихся прямыхРезультатом преобразования с помощью (2х2)-матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем это на примере двух прямых, заданных уравнениями: y = m1x + b1 В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:
или [X][M] = [B] Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности, [Xi] = [xi yi] = [B][M] -1 Матрица, обратная [М], имеет следующий вид:
так как [M][M] -1 = [E], где [E] - единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:
Если обе линии преобразовать с помощью (2х2)-матрицы общего преобразования вида:
то их уравнения будут иметь вид y* = m1*x* + b1* Соответственно можно показать, что
и
Точка пересечения линий после преобразования отыскивается таким же образом, что и в случае исходных линий:
Воспользовавшись тремя предыдущими выражениями, получим:
Возвращаясь теперь к точке пересечения [xi yi] исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем
Сравнение уравнений точек пересечения исходных линий и преобразованных показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.
|
m2 - m1 
-1 
m2 - m1
m2 - m1
