Преобразование пересекающихся прямых

Результатом преобразования с помощью (2х2)-матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем это на примере двух прямых, заданных уравнениями:

y = m₁x + b₁
y = m₂x + b₂

В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:

[X][T] = [x y]		-m1 -m2 1 1		= [b1 b2]

или

[X][M] = [B]

Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,

[X_i] = [x_i y_i] = [B][M] ^-1

Матрица, обратная [М], имеет следующий вид:

			1 m2 - m1 -1 m2 - m1		m2 m2 - m1 -m1 m2 - m1

так как [M][M] ^-1 = [E], где [E] - единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:

[Xi] = [xi yi] = [b1 b2]			1 m2 - m1 -1 m2 - m1		m2 m2 - m1 -m1 m2 - m1

 

[Xi] = [xi yi] =			b1 – b2 m2 - m1		b1m2 - b2m1 m2 - m1

Если обе линии преобразовать с помощью (2х2)-матрицы общего преобразования вида:

[T] =		a b c d

то их уравнения будут иметь вид

y* = m₁*x* + b₁*
y* = m₂*x* + b₂*

Соответственно можно показать, что

mi* =

b + dmi a + cmi

и

bi* = bi(d - cmi*) = bi

ad - bc a + cmi

где i = 1, 2.

Точка пересечения линий после преобразования отыскивается таким же образом, что и в случае исходных линий:

[Xi*] = [xi* yi*] =			b1* - b2* m2* - m1*		b1*m2* - b2*m1* m2* - m1*

Воспользовавшись тремя предыдущими выражениями, получим:

[Xi*] = [xi* yi*] =			a(b1 - b2) + c(b1m2 – b2m1) m2 - m1		b(b1 - b2) + d(b1m2 - b2m1) m2 - m1

Возвращаясь теперь к точке пересечения [x_i y_i] исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем

[xi* yi*] = [xi yi][T] =			b1 – b2 m2 - m1		b1m2 - b2m1 m2 - m1				a b c d		=

 

=			a(b1 - b2) + c(b1m2 – b2m1) m2 - m1		b(b1 - b2) + d(b1m2 - b2m1) m2 - m1

Сравнение уравнений точек пересечения исходных линий и преобразованных показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.