Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Преобразование точек





Точка представляется на плоскости двумя своими координатами, которые определяются как элементы матрицы размером 1х2 [х у]. В трехмерном пространстве используется матрица размером 1х3 [x у z]. Иначе говоря, точка может задаваться в виде вектор-столбца

 
x y
 

в двумерном пространстве или в виде

 
x y z
 

в трехмерном. Строку [х у] или столбец часто называют координатным вектором. Для формирования такого вектора используется матрица-строка, т. е. множество точек, каждая из которых определяет координатный вектор в некоторой системе измерения. Данное множество хранится в виде матрицы или массива чисел. Положением точек можно управлять путем манипулирования соответствующей матрицей. Линии, соединяющие точки, формируют отрезки, кривые и картинки.

В качестве элементов матрицы могут фигурировать различные величины: числа, сетки или коэффициенты системы уравнений. Правила в матричной алгебре определяют допустимые операции над элементами. Многие физические задачи удобно выражаются в матричном представлении. Для моделей физических систем задача обычно ставится следующим образом: даны матрицы [А] и [В], найти результирующую матрицу [Т], такую, что [А][Т] = [В]. В этом случае решением является матрица [Т] = [А]-1[В], где [А]-1 - матрица, обратная к квадратной матрице [А].

В то же время матрицу [Т] можно интерпретировать как геометрический оператор. В этом случае для выполнения геометрического преобразования точек, представленных векторами положений в матрице [А], используется умножение матриц. Предположим, что матрицы [А] и [T] известны. Требуется определить элементы матрицы [В]. Представление [T] как геометрического оператора является основой математических преобразований, используемых в машинной графике.

Рассмотрим результаты умножения матрицы [х у], содержащей координаты точки Р, на матрицу общего преобразования размером 2х2:

   
[X][T] = [x y] a b c d [(ax + cy) (bx + dy)]
     

Данная запись означает, что исходные координаты точки х и у преобразуются в х* и y*, где где х* = ах + су, у* = bх + dy. Представляют интерес значения х*, у* - координаты результирующей, преобразованной точки Р. Рассмотрим некоторые специальные случаи.

При а = d = 1 и с = b = 0 преобразование сведется к единичной матрице

   
[X][T] = [x y] 1 0 0 1 [x y] = [x* y*]
     

и координаты точки Р останутся неизменными. Как и следовало ожидать, в линейной алгебре умножение на единичную матрицу эквивалентно умножению на 1 в обычной алгебре.

В случае d = 1, b = c = 0

   
[X][T] = [x y] а 0 0 1 [аx y] = [x* y*]
     

где х* = ах - результат масштабирования координаты х. Эффект показан на рисунке 1.1, а.

Рассмотрим теперь еще случай b = с = 0, т.е.

   
[X][T] = [x y] а 0 0 d [аx yd] = [x* y*]
     

Данное преобразование вызывает изменение обеих координат х и у вектора Р (рис. 1.1, b). Если а < > d, то координаты масштабируются различным образом. При a = d > 1 происходит растяжение вектора Р или масштабирование координат. Если 0 < а = d < 1, то имеет место сжатие.

Если значение а или d отрицательное, то вектор отражается относительно координатных осей или относительно плоскости. Чтобы убедиться в этом, возьмем b = c = 0, d = 1 и а = 1, тогда

   
[X][T] = [x y] -1 0 0 1 [-x y] = [x* y*]
     

и в результате получаем симметричное отражение относительно оси y (рис. 1.1, c). Если b = c = 0, а = 1, d = -1, то выполняется симметричное отражение относительно оси х. Если b = с = 0, а = d < 0, то происходит отражение относительно начала координат, это показано на рисунке 1.1, d, где a = -1, d =1. Заметим, что обе операции отражения и масштабирование зависят только от диагональных членов матрицы преобразования.

Рассмотрим теперь случай с недиагональными членами. Возьмем сначала значения a = d = 1, c = 0, тогда

   
[X][T] = [x y] 1 b 0 1 [x (bx + y)] = [x* y*]
     

Заметим, что координата х точки Р осталась неизменной, тогда как координата y линейно зависит от исходных координат. Данное преобразование называется сдвигом (рис. 1.1, e). Аналогично, в случае, когда а = d = 1, b = 0, преобразование приведет к сдвигу пропорционально координате y (рис. 1.1, f). Таким образом, видно, что недиагональные члены матрицы преобразования создают эффект сдвига координат вектора точки Р.

Прежде чем закончить с преобразованием точек, разберем действие общего преобразования, когда начальный вектор лежит в точке начала координат, т.е.

   
[X][T] = [x y] a b c d [(ax + cy) (bx + dy)]
     

или в случае начала координат,

   
[X][T] = [0 0] a b c d [0 0] = [x* y*]
     

Видно, что начало координат инвариантно относительно преобразования общего вида. Это ограничение устраняется при использовании однородных координат.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 620. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Словарная работа в детском саду Словарная работа в детском саду — это планомерное расширение активного словаря детей за счет незнакомых или трудных слов, которое идет одновременно с ознакомлением с окружающей действительностью, воспитанием правильного отношения к окружающему...

Правила наложения мягкой бинтовой повязки 1. Во время наложения повязки больному (раненому) следует придать удобное положение: он должен удобно сидеть или лежать...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия