Нестационарный режим
Рассмотрим нестационарный режим работы нашей системы (М/М/1/0). Система может находиться в одном из двух состояний: - обслуживающий прибор свободен – S 0; - обслуживающий прибор занят – S 1. Обозначим P 0(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 0; P 1(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 1. Для этих вероятностей справедливо P 0(t) + P 1(t) = 1. Попытаемся получить уравнения, описывающие поведение вероятностей P 0(t) и P 1(t) во времени. Возможные переходы системы из состояния в состояние представим в виде графа переходов рис. 3, а. Фиксируем момент t и найдем вероятность P 0(t +∆ t) того, что система будет находиться в S 0 через интервал времени ∆ t. Это может произойти двумя способами: А – система находилась в S 0 и не перешла в S 1 (не было ни одной заявки). Это событие на графе представлено петлей при состоянии S 0. В – система находилась в S 1, и за ∆ t обслуживание заявки закончилось и система перешла в S 0. Это событие показано на графе дугой из состояния S 1 в состояние S 0. Возможностью перескока S 0 – S 1 – S 0 пренебрегаем – поток ординарен (вероятность двух событий за ∆ t ничтожно мала).
Рисунок 3 – Преобразование графа переходов системы М/М/1/0
По теореме сложения вероятностей P 0(t +∆ t) = Р (А)+ Р (В). Найдем Р (А). В момент времени t вероятность нахождения системы в состоянии S 0 равна P 0(t). Вероятность того, что за ∆ t не придет ни одной заявки, т.е. того, что система останется в состоянии S 0, равна e–λ ∆ t. (Это следует из закона пуассона; – при k = 0 и получаем p 0(∆ t) = e–λ ∆ t.) При λ ∆ t < < 1 можно положить e–λ ∆ t ≈ 1– λ ∆ t. Эта вероятность показана на графе рис. 3, б у петли при состоянии S 0. По теореме умножения вероятностей находим Р (А) = P 0(t)(1– λ ∆ t). Это вероятность того, что система находилась в S 0 и осталась в этом состоянии, так как не было заявок. Найдем Р (В). Вероятность того, что система находилась в S 1, равна P 1(t). Вероятность того, что за время ∆ t система не освободится, т. е. останется в S 1, по тому же закону Пуассона, но с интенсивностью завершения обслуживания заявок , равна e–µ∆ t. (Это вероятность того, что за время ∆ t не произойдет окончания обслуживания заявки.) Вероятность того, что за ∆ t система перейдет из S 1 в S 0, равна вероятности завершения обслуживания заявки за ∆ t 1 – e–µ∆ t. При µ∆ t < < 1 1 – e–µ∆ t ≈ µ∆ t. Этой вероятностью на рис. 3, б помечена дуга из состояния S 1 в состояние S 0. Следовательно, Р (В) = P 1(t) µ∆ t. Это вероятность того, что система находилась в состоянии S 1 и перешла в S 0, так как обслуживание заявки закончилось за время ∆ t. Таким образом: P 0(t +∆ t) = P 0(t)(1– λ ∆ t) + µ P 1(t)∆ t = P 0(t) – λ ∆ tP 0(t) + µ P 1(t)∆ t. Перенесем P 0(t) в левую часть и разделим обе части на ∆ t = – λ P 0(t) + µ P 1(t). При ∆ t 0 получаем P 0’(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t). Рассуждая аналогично, для Р 1(t) получим P 1’(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t). В результате получили систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение вероятностей состояний системы во времени (систему уравнений Колмогорова). Размеченный граф, полученный в процессе составления системы дифференциальных уравнений, показан на рис. 3, б. Система дифференциальных уравнений уже не содержит интервала времени ∆ t, поэтому граф переходов системы можно упростить, представив его в виде, показанном на рис. 3, в. По графу переходов рис. 3, в для каждого состояния можно составить дифференциальное уравнение следующим образом: В левой части записываем производную вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии. В правой части для каждой стрелки, связанной с этим состоянием, записываем произведение интенсивности на вероятность состояния, из которого стрелка выходит. Перед произведением ставим знак –, если стрелка выходит из рассматриваемого состояния, ставим +, если стрелка входит в состояние. Итак, получили систему дифференциальных уравнений: P 0’(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t); P 1’(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t). Для решения этой системы воспользуемся GPSS World, в которой имеется специальная команда INTEGRATE для решения дифференциальных уравнений и блок управления интегрированием INTEGRATION. Команда INTEGRATE имеет следующий формат:
|