Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нестационарный режим





Рассмотрим нестационарный режим работы нашей системы (М/М/1/0).

Система может находиться в одном из двух состояний:

- обслуживающий прибор свободен – S 0;

- обслуживающий прибор занят – S 1.

Обозначим

P 0(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 0;

P 1(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 1.

Для этих вероятностей справедливо

P 0(t) + P 1(t) = 1.

Попытаемся получить уравнения, описывающие поведение вероятностей P 0(t) и P 1(t) во времени.

Возможные переходы системы из состояния в состояние представим в виде графа переходов рис. 3, а.

Фиксируем момент t и найдем вероятность P 0(t +∆ t) того, что система будет находиться в S 0 через интервал времени ∆ t. Это может произойти двумя способами:

А – система находилась в S 0 и не перешла в S 1 (не было ни одной заявки). Это событие на графе представлено петлей при состоянии S 0.

В – система находилась в S 1, и за ∆ t обслуживание заявки закончилось и система перешла в S 0. Это событие показано на графе дугой из состояния S 1 в состояние S 0.

Возможностью перескока S 0 S 1S 0 пренебрегаем – поток ординарен (вероятность двух событий за ∆ t ничтожно мала).

 

 
 

Рисунок 3 – Преобразование графа переходов системы М/М/1/0

 

По теореме сложения вероятностей

P 0(t +∆ t) = Р (А)+ Р (В).

Найдем Р (А).

В момент времени t вероятность нахождения системы в состоянии S 0 равна P 0(t). Вероятность того, что за ∆ t не придет ни одной заявки, т.е. того, что система останется в состоянии S 0, равна e–λ ∆ t. (Это следует из закона пуассона; – при k = 0 и получаем p 0(∆ t) = e–λ ∆ t.)

При λ ∆ t < < 1 можно положить e–λ ∆ t ≈ 1– λ ∆ t.

Эта вероятность показана на графе рис. 3, б у петли при состоянии S 0.

По теореме умножения вероятностей находим

Р (А) = P 0(t)(1– λ ∆ t).

Это вероятность того, что система находилась в S 0 и осталась в этом состоянии, так как не было заявок.

Найдем Р (В).

Вероятность того, что система находилась в S 1, равна P 1(t).

Вероятность того, что за время ∆ t система не освободится, т. е. останется в S 1, по тому же закону Пуассона, но с интенсивностью завершения обслуживания заявок , равна e–µ∆ t. (Это вероятность того, что за время ∆ t не произойдет окончания обслуживания заявки.)

Вероятность того, что за ∆ t система перейдет из S 1 в S 0, равна вероятности завершения обслуживания заявки за ∆ t 1 – e–µ∆ t.

При µ∆ t < < 1 1 – e–µ∆ t ≈ µ∆ t.

Этой вероятностью на рис. 3, б помечена дуга из состояния S 1 в состояние S 0.

Следовательно,

Р (В) = P 1(t) µ∆ t.

Это вероятность того, что система находилась в состоянии S 1 и перешла в S 0, так как обслуживание заявки закончилось за время ∆ t.

Таким образом:

P 0(t +∆ t) = P 0(t)(1– λ ∆ t) + µ P 1(t)∆ t = P 0(t) – λ ∆ tP 0(t) + µ P 1(t)∆ t.

Перенесем P 0(t) в левую часть и разделим обе части на ∆ t

= – λ P 0(t) + µ P 1(t).

При ∆ t 0 получаем

P 0(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t).

Рассуждая аналогично, для Р 1(t) получим

P 1(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t).

В результате получили систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение вероятностей состояний системы во времени (систему уравнений Колмогорова).

Размеченный граф, полученный в процессе составления системы дифференциальных уравнений, показан на рис. 3, б.

Система дифференциальных уравнений уже не содержит интервала времени ∆ t, поэтому граф переходов системы можно упростить, представив его в виде, показанном на рис. 3, в.

По графу переходов рис. 3, в для каждого состояния можно составить дифференциальное уравнение следующим образом:

В левой части записываем производную вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии. В правой части для каждой стрелки, связанной с этим состоянием, записываем произведение интенсивности на вероятность состояния, из которого стрелка выходит. Перед произведением ставим знак –, если стрелка выходит из рассматриваемого состояния, ставим +, если стрелка входит в состояние.

Итак, получили систему дифференциальных уравнений:

P 0(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t);

P 1(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t).

Для решения этой системы воспользуемся GPSS World, в которой имеется специальная команда INTEGRATE для решения дифференциальных уравнений и блок управления интегрированием INTEGRATION.

Команда INTEGRATE имеет следующий формат:







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 667. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия