Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нестационарный режим





Рассмотрим нестационарный режим работы нашей системы (М/М/1/0).

Система может находиться в одном из двух состояний:

- обслуживающий прибор свободен – S 0;

- обслуживающий прибор занят – S 1.

Обозначим

P 0(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 0;

P 1(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S 1.

Для этих вероятностей справедливо

P 0(t) + P 1(t) = 1.

Попытаемся получить уравнения, описывающие поведение вероятностей P 0(t) и P 1(t) во времени.

Возможные переходы системы из состояния в состояние представим в виде графа переходов рис. 3, а.

Фиксируем момент t и найдем вероятность P 0(t +∆ t) того, что система будет находиться в S 0 через интервал времени ∆ t. Это может произойти двумя способами:

А – система находилась в S 0 и не перешла в S 1 (не было ни одной заявки). Это событие на графе представлено петлей при состоянии S 0.

В – система находилась в S 1, и за ∆ t обслуживание заявки закончилось и система перешла в S 0. Это событие показано на графе дугой из состояния S 1 в состояние S 0.

Возможностью перескока S 0 S 1S 0 пренебрегаем – поток ординарен (вероятность двух событий за ∆ t ничтожно мала).

 

 
 

Рисунок 3 – Преобразование графа переходов системы М/М/1/0

 

По теореме сложения вероятностей

P 0(t +∆ t) = Р (А)+ Р (В).

Найдем Р (А).

В момент времени t вероятность нахождения системы в состоянии S 0 равна P 0(t). Вероятность того, что за ∆ t не придет ни одной заявки, т.е. того, что система останется в состоянии S 0, равна e–λ ∆ t. (Это следует из закона пуассона; – при k = 0 и получаем p 0(∆ t) = e–λ ∆ t.)

При λ ∆ t < < 1 можно положить e–λ ∆ t ≈ 1– λ ∆ t.

Эта вероятность показана на графе рис. 3, б у петли при состоянии S 0.

По теореме умножения вероятностей находим

Р (А) = P 0(t)(1– λ ∆ t).

Это вероятность того, что система находилась в S 0 и осталась в этом состоянии, так как не было заявок.

Найдем Р (В).

Вероятность того, что система находилась в S 1, равна P 1(t).

Вероятность того, что за время ∆ t система не освободится, т. е. останется в S 1, по тому же закону Пуассона, но с интенсивностью завершения обслуживания заявок , равна e–µ∆ t. (Это вероятность того, что за время ∆ t не произойдет окончания обслуживания заявки.)

Вероятность того, что за ∆ t система перейдет из S 1 в S 0, равна вероятности завершения обслуживания заявки за ∆ t 1 – e–µ∆ t.

При µ∆ t < < 1 1 – e–µ∆ t ≈ µ∆ t.

Этой вероятностью на рис. 3, б помечена дуга из состояния S 1 в состояние S 0.

Следовательно,

Р (В) = P 1(t) µ∆ t.

Это вероятность того, что система находилась в состоянии S 1 и перешла в S 0, так как обслуживание заявки закончилось за время ∆ t.

Таким образом:

P 0(t +∆ t) = P 0(t)(1– λ ∆ t) + µ P 1(t)∆ t = P 0(t) – λ ∆ tP 0(t) + µ P 1(t)∆ t.

Перенесем P 0(t) в левую часть и разделим обе части на ∆ t

= – λ P 0(t) + µ P 1(t).

При ∆ t 0 получаем

P 0(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t).

Рассуждая аналогично, для Р 1(t) получим

P 1(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t).

В результате получили систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение вероятностей состояний системы во времени (систему уравнений Колмогорова).

Размеченный граф, полученный в процессе составления системы дифференциальных уравнений, показан на рис. 3, б.

Система дифференциальных уравнений уже не содержит интервала времени ∆ t, поэтому граф переходов системы можно упростить, представив его в виде, показанном на рис. 3, в.

По графу переходов рис. 3, в для каждого состояния можно составить дифференциальное уравнение следующим образом:

В левой части записываем производную вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии. В правой части для каждой стрелки, связанной с этим состоянием, записываем произведение интенсивности на вероятность состояния, из которого стрелка выходит. Перед произведением ставим знак –, если стрелка выходит из рассматриваемого состояния, ставим +, если стрелка входит в состояние.

Итак, получили систему дифференциальных уравнений:

P 0(t) = – λ P 0(t) + µ P 1(t);

P 1(t) = λ P 0(t) – µ P 1(t).

Для решения этой системы воспользуемся GPSS World, в которой имеется специальная команда INTEGRATE для решения дифференциальных уравнений и блок управления интегрированием INTEGRATION.

Команда INTEGRATE имеет следующий формат:







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 667. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия