Нестационарный режим

Рассмотрим нестационарный режим работы нашей системы (М/М/1/0).

Система может находиться в одном из двух состояний:

- обслуживающий прибор свободен – S ₀;

- обслуживающий прибор занят – S ₁.

Обозначим

P ₀(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S ₀;

P ₁(t) – вероятность нахождения системы в состоянии S ₁.

Для этих вероятностей справедливо

P ₀(t) + P ₁(t) = 1.

Попытаемся получить уравнения, описывающие поведение вероятностей P ₀(t) и P ₁(t) во времени.

Возможные переходы системы из состояния в состояние представим в виде графа переходов рис. 3, а.

Фиксируем момент t и найдем вероятность P ₀(t +∆ t) того, что система будет находиться в S ₀ через интервал времени ∆ t. Это может произойти двумя способами:

А – система находилась в S ₀ и не перешла в S ₁ (не было ни одной заявки). Это событие на графе представлено петлей при состоянии S ₀.

В – система находилась в S ₁, и за ∆ t обслуживание заявки закончилось и система перешла в S ₀. Это событие показано на графе дугой из состояния S ₁ в состояние S ₀.

Возможностью перескока S ₀ – S ₁ – S ₀ пренебрегаем – поток ординарен (вероятность двух событий за ∆ t ничтожно мала).

 

Рисунок 3 – Преобразование графа переходов системы М/М/1/0

 

По теореме сложения вероятностей

P ₀(t +∆ t) = Р (А)+ Р (В).

Найдем Р (А).

В момент времени t вероятность нахождения системы в состоянии S ₀ равна P ₀(t). Вероятность того, что за ∆ t не придет ни одной заявки, т.е. того, что система останется в состоянии S ₀, равна e^{–λ ∆ t}. (Это следует из закона пуассона; – при k = 0 и получаем p ₀(∆ t) = e^{–λ ∆ t}.)

При λ ∆ t < < 1 можно положить e^{–λ ∆ t} ≈ 1– λ ∆ t.

Эта вероятность показана на графе рис. 3, б у петли при состоянии S ₀.

По теореме умножения вероятностей находим

Р (А) = P ₀(t)(1– λ ∆ t).

Это вероятность того, что система находилась в S ₀ и осталась в этом состоянии, так как не было заявок.

Найдем Р (В).

Вероятность того, что система находилась в S ₁, равна P ₁(t).

Вероятность того, что за время ∆ t система не освободится, т. е. останется в S ₁, по тому же закону Пуассона, но с интенсивностью завершения обслуживания заявок , равна e^{–µ∆ t}. (Это вероятность того, что за время ∆ t не произойдет окончания обслуживания заявки.)

Вероятность того, что за ∆ t система перейдет из S ₁ в S ₀, равна вероятности завершения обслуживания заявки за ∆ t 1 – e^{–µ∆ t}.

При µ∆ t < < 1 1 – e^{–µ∆ t} ≈ µ∆ t.

Этой вероятностью на рис. 3, б помечена дуга из состояния S ₁ в состояние S ₀.

Следовательно,

Р (В) = P ₁(t) µ∆ t.

Это вероятность того, что система находилась в состоянии S ₁ и перешла в S ₀, так как обслуживание заявки закончилось за время ∆ t.

Таким образом:

P ₀(t +∆ t) = P ₀(t)(1– λ ∆ t) + µ P ₁(t)∆ t = P ₀(t) – λ ∆ tP ₀(t) + µ P ₁(t)∆ t.

Перенесем P ₀(t) в левую часть и разделим обе части на ∆ t

= – λ P ₀(t) + µ P ₁(t).

При ∆ t 0 получаем

P ₀^’(t) = – λ P ₀(t) + µ P ₁(t).

Рассуждая аналогично, для Р ₁(t) получим

P ₁^’(t) = λ P ₀(t) – µ P ₁(t).

В результате получили систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение вероятностей состояний системы во времени (систему уравнений Колмогорова).

Размеченный граф, полученный в процессе составления системы дифференциальных уравнений, показан на рис. 3, б.

Система дифференциальных уравнений уже не содержит интервала времени ∆ t, поэтому граф переходов системы можно упростить, представив его в виде, показанном на рис. 3, в.

По графу переходов рис. 3, в для каждого состояния можно составить дифференциальное уравнение следующим образом:

В левой части записываем производную вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии. В правой части для каждой стрелки, связанной с этим состоянием, записываем произведение интенсивности на вероятность состояния, из которого стрелка выходит. Перед произведением ставим знак –, если стрелка выходит из рассматриваемого состояния, ставим +, если стрелка входит в состояние.

Итак, получили систему дифференциальных уравнений:

P ₀^’(t) = – λ P ₀(t) + µ P ₁(t);

P ₁^’(t) = λ P ₀(t) – µ P ₁(t).

Для решения этой системы воспользуемся GPSS World, в которой имеется специальная команда INTEGRATE для решения дифференциальных уравнений и блок управления интегрированием INTEGRATION.

Команда INTEGRATE имеет следующий формат: