Основные теоретические сведения. Электрический ток в металлах представляет собой упорядоченное движение свободных электронов

Электрический ток в металлах представляет собой упорядоченное движение свободных электронов. При этом происходит взаимодействие электронов с ионами кристаллической решетки металла, что является причиной появления сопротивления – противодействия проводника протеканию в нем электрического тока.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и природы материала, из которого он изготовлен (строения кристаллической решетки):

(1)

где l – длина проводника,

S – площадь его поперечного сечения,

ρ - удельное сопротивление.

Удельное сопротивление вещества – это сопротивление проводника, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м², изготовленного из данного вещества.

Единицей измерения сопротивления проводника в СИ является 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 вольт, приложенном к нему, сила тока равна 1 амперу.

Кроме того, сопротивление проводника и его удельное сопротивление зависят от температуры:

(2)

(2а)

где t – температура проводника,

α – температурный коэффициент сопротивления,

ρ ₀ – удельное сопротивление при t = 0⁰С,

– сопротивление проводника при t = 0⁰С.

При низких температурах данной зависимостью можно пренебречь.

Расчет сопротивления проводников по формуле (1) не всегда возможен, поэтому зачастую для расчета сопротивлений простейших электрических цепей используется следствие из закона Ома в виде:

(3)

где I – сила тока на участке цепи,

U – напряжение на этом участке,

Однако на практике более широкое применение имеют сложные цепи, имеющие множественные ветви и узлы. Ветвью называют весь участок цепи между двумя соседними узлами, в котором все элементы соединены последовательно. Узлом электрической цепи называют место соединения трех или большего числа ветвей. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называют контуром электрической цепи. Расчет параметров таких сложных электрических цепей с использованием только закона Ома, не всегда представляется возможным и поэтому в большинстве случаев применяются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа - правило узлов: алгебраическая сумма токов в узловой точке равна нулю, или математически:

(4)

противоположно положительной

При составлении уравнений, согласно первому правилу Кирхгофа, необходимо произвольно выбрать направления токов во всех ветвях и обозначить их на схеме стрелками. В каждом узле должны быть как входящие, которые принято брать положительными, так и выходящие, считающиеся отрицательными.

Например, для узловой точки, изображенной на рисунке 1: токи I₁, I₂, I₄, будут иметь знак " + ", а токам I₃, I₅, - приписываем знак " - ".

Тогда, записывая уравнение, получаем:

(5)

Обобщением закона Ома для разветвленных цепей является второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре разветвлённой электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях в любом контуре равна алгебраической сумме Э Д С, действующих в этом контуре.

Математическая запись второго правила Кирхгофа:

ℰ _i (6)

Применяя правила Кирхгофа для расчета сложных цепей необходимо выполнить определенные операции:

1. Выбрать (выделить) в цепи независимые замкнутые контуры (содержащие хотя бы 1 элемент цепи, не встречавшийся в ранее выбранных, при этом первый контур всегда независим).

2. Указать на схеме (произвольно) направление токов на отдельных участках выбранных контуров (с учетом особенностей применения первого правила).

3. Выбрать произвольно направление обхода независимых замкнутых контуров (по направлению часовой стрелки или против него), одинаковое для всех.

4. Определить знаки Э.Д.С и токов в выбранных контурах. При этом положительными считаются те токи, направление которых совпадает с направлением обхода, а отрицательными - токи, направление которых противоположно направлению обхода. Знак Э.Д.С принимается положительным, если при обходе контура переход внутри источника осуществляется от минуса к плюсу.

В качестве примера рассмотрим схему, представленную на рисунке 2. Число уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа должно быть на 1 меньше, чем узлов, тогда имея два узла (A и D), запишем для узла D уравнение:

Для контура ABCD, второе правило Кирхгофа запишется в виде:

- ℰ ₁,

а для контура ADEF:

ℰ ₂

Решая полученную систему из трех уравнений, используя известные величины, можно рассчитать искомые параметры. Если указано внутреннее сопротивление источников, то его тоже необходимо учитывать при записи уравнений по второму правилу.

Правила Кирхгофа применяются в мостовых методах определения сопротивлений в цепях постоянного тока.

Обоснование метода

Мост Уитстона представляет собой схему, предназначенную для измерений сопротивлений путем сравнения неизвестного сопротивления R_x и сопротивления R₀, величина которого может меняться в заданных пределах (рис. 3). Сопротивления R_x, R₀, R₁ и R₂ представляют собой плечи моста, а участки AC и BD являются его диагоналями. В диагональ BD включается гальванометр G, а в диагональ AC подсоединяется источник питания ℰ. В общем случае ток от источника будет протекать по всем участкам цепи, в том числе и через гальванометр.

Путем изменения величины переменного сопротивления R₀, при постоянных значениях сопротивлений R₁ и R₂ можно добиться равенства потенциалов точек B и D:

(7)

Тогда , а значит, ток через гальванометр не пойдет, то есть I_g = 0, что свидетельствует о сбалансированности моста, и можно будет производить расчет неизвестного сопротивления с помощью правил Кирхгофа.

Применяя первое правило Кирхгофа к узлам B и D, получим:

(8)

(9)

Но так как для сбалансированного моста ток через гальванометр отсутствует, равенства (8) и (9) будут иметь следующий вид:

(10)

(11)

Для контуров ABD и BCD применим последовательно второе правило Кирхгофа, при этом обход контуров произведем по часовой стрелке, в результате получим систему:

(12)

(13)

Учитывая, что I_g = 0, преобразуем уравнения:

(14)

(15)

Произведя преобразования с учетом (10) и (11), имеем:

(16)

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона (рис. 4), в котором сопротивления R₁ и R₂ представляют собой отрезки l₁ и l₂ однородной проволоки (реохорда) с большим удельным сопротивлением, соотношение длин которых зависит от положения скользящего контакта (узел D). Все рассуждения и выводы, изложенные выше, справедливы и для такого моста, в результате чего, с учетом (1), выражение (16) принимает вид:

(17)