Для каких действительных значений уравнение имеет только положительные (только отрицательные) действительные корни?
11) 13) При каких 14) Для каких 15) Для каких действительных чисел 2) Во второй части задания приведены задачи по стереометрии. Пример 2. Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна Решение. На последний вопрос, как видно из чертежа, ответ достаточно прост: необходимо, чтобы
Вычислим радиус сферы:
и искомое расстояние Решить задачи: 16) Высота конуса в 4 раза больше радиуса шара, вписанного в этот конус. Образующая конуса равна 17) Отношение боковой поверхности усеченного конуса, описанного около шара, к сумме площадей его оснований равно 18) Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна 26 задание 1) Первая часть задания предполагает решение уравнений с двумя неизвестными. Пример 1. Решить уравнение: Решение. Заметим, что
Найдем наибольшее значение функции
поэтому
Условию
Решить уравнения: 1) 2) 3) 2) Во второй части задания предлагается решение задач, связанных с уравнениями и системами уравнений с параметрами. Пример 2. При каких значениях параметра Решение. Имеем: Так как функция
Таким образом, получаем ответ: При каких значениях 4) Для каких действительных чисел 7) Для каждого действительного числа 10) 14) Для каких действительных чисел 16) 27 задание 1) В первой части задания приведены задачи на количество корней заданного уравнения с параметром. Пример 1. Для каких действительных чисел Решение. Перепишем уравнение в виде совокупности двух систем:
Пусть 1) Первая система имеет 0 решений, т.е. не имеет решений:
2) Первая система имеет 1 решение:
3) Первая система имеет 2 решения:
4) Вторая система имеет 0 решений:
5) Вторая система имеет 1 решение:
6) Вторая система имеет 2 решения:
Теперь уже легко ответить на поставленные в условии задачи вопросы. А) Заданное уравнение имеет 0 решений, когда первая и вторая системы имеют по 0 решений:
Б) Заданное уравнение имеет 1 решение, когда первая система имеет 1 решение, а вторая система имеет 0 решений, и наоборот:
В) Заданное уравнение имеет 2 решения, когда первая и вторая системы имеют по 1 решению, или первая система имеет 2 решения, а вторая система имеет 0 решений, и наоборот:
Г) Заданное уравнение имеет 3 решения, когда первая система имеет 2 решения, а вторая система имеет 1 решение, и наоборот:
Д) Заданное уравнение имеет 4 решения, когда первая и вторая системы имеют по 2 решения:
Для каких действительных чисел 1) 4) Для каких действительных чисел 6) 7) 2) Во второй части задания приведены задачи на расположение корней двух уравнений с одинаковым параметром. Найти все 8) Найти все 10) 12) Для каких действительных чисел 13) Найти все действительные числа 28 задание Данное задание содержит задачи на неравенства с параметрами. Пример 1. Для каждого действительного числа Решение. Найдем сначала область определения неравенства:
Далее, учитывая, что корни уравнения
Для каждого действительного числа 1) 4) 7) 10) 15) 29 задание 1) В первой части задания содержатся различные задачи на неравенства с параметрами. Пример 1. Найти все действительные числа Решение. Преобразуем заданное неравенство:
и положим
Задача сводится теперь к выполнению включения:
Решим по отдельности каждое из неравенств системы:
Таким образом, окончательно получаем:
Для каких действительных чисел 1) 6) Найти все действительные числа 8) 10) 12) Найти все действительные числа 13) Найти все числа 2) Во второй части задания содержатся задачи на сечения кубов и призм плоскостями. Пример 2. В каком отношении делит объем куба Решение. Пусть
Искомое сечение – это равнобедренная трапеция
Далее заметим, что
Далее вычислим объем пирамиды
Теперь найдем объем передней части куба
и объем задней части куба:
Наконец, поскольку
Решить задачи: 14) Дан куб 15) В каком отношении делит объем куба 16) В каком отношении делит объем правильной треугольной призмы 17) Основание прямой призмы 18) В прямоугольном параллелепипеде
30 задание 1) В первой части задания содержатся различные задачи с параметрами. Пример 1. Найти все числа Решение. Если 1) Пусть
Найдем корни уравнения
Решением неравенства
при условии, что дискриминант
2) Пусть
Решением неравенства
при условии, что дискриминант
где Замечание. Геометрический смысл задачи состоит в нахождении тех параметров
Пример 2. Найти множество всех пар Решение. Подставим в равенство
Составим систему уравнений относительно неизвестных
Итак, для того чтобы равенство Найти все числа 1) Найти множество всех пар 8) Доказать, что для всех действительных чисел 11) 2) Во второй части задания содержатся задачи на пирамиды. Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде Решение. Пусть
|
; 12) 
.
корни уравнения 
будут неотрицательными (неположительными) действительными числами?
один из действительных корней уравнения 
равен удвоенному действительному корню уравнения 
?
действительные корни уравнения 
лежат между действительными корнями уравнения 
?
, а угол его осевого сечения равен 
. Найти расстояние от вершины конуса до плоскости окружности, по которой сфера пересекает конус. Указать возможные значения для 
, откуда вытекает ограничение на величину угола 
.
. Так как 
- равнобедренный, то 
, поэтому 
. Следовательно,
,
. #
. Найти угол между образующей и плоскостью основания и допустимые значения 
.
, ибо в противном случае, получаем уравнение 
, которое не имеет решений, так 
, а 
. Это замечание позволяет преобразовать заданное уравнение:
на отрезке 
- области определения этой функции. Имеем: 
, поэтому 
в точке 
. Знаки производной показывают, что 
имеет в точке 
. Найдем теперь наименьшее значение функции 
на промежутке 
, где 
. Имеем:
,
.
удовлетворяет только корень 
. Знаки производной показывают, что 
имеет в этой точке локальный минимум. Следовательно, 
. Таким образом, для всех допустимых значений 
и 
имеем: 
, откуда следует, что решение исходного уравнения возможно лишь в одном случае:
#
;
;
.
уравнение 
имеет два решения?
является строго возрастающей, т.е. биективной, а уравнение 
имеет корни 
, то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда 
, т.е. 
, и для меньшего корня 
выполняется система неравенств:
. #
; 5) 
; 6) 
.
; 8) 
; 9) 
.
11) 
12) 
13) 
15) 
17) 
18) 
19) 
имеет 0, 1, 2, 3 или 4 действительных решений?
- дискриминант верхнего уравнения в совокупности двух систем, а 
и 
- его корни, и 
- дискриминант нижнего уравнения, а 
и 
- его корни. Рассмотрим теперь случаи, когда верхняя система в совокупности (а затем и нижняя) имеет 0, 1 и 2 решения.
.
.
. #
; 2) 
; 3) 
;
; 5) 
.
ровно 
корней? 
, 
, 
;
, 
, 
.
, при которых уравнения имеют по два различных действительных корня и между корнями одного уравнения содержится ровно один корень другого уравнения: 
и 
; 9) 
и 
.
и 
; 11) 
и 
.
больше любого решения неравенства 
?
является решением неравенства 
.
.
.
- это 
, имеем:
; 2) 
; 3) 
;
; 5) 
; 6) 
;
; 8) 
; 9) 
;
; 11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
;
; 16) 
; 17) 
; 18) 
.
выполняется для всех действительных чисел 
. Теперь исходная задача будет выглядеть следующим образом: найти все действительные числа 
выполняется для всех 
. Вычислим корни уравнения 
:
.
, где 
и 
, т.е. к решению следующей системы неравенств:
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
; 7) 
.
выполняется неравенство: 
, 
; 9) 
, 
;
, 
; 11) 
, 
.
является решением неравенства 
.
, при каждом из которых любое действительное число 
и 
.
плоскость, проходящая через вершины 
, 
и точку 
, расположенную на ребре 
так, что 
? Найдите площадь и периметр полученного сечения (длина ребра куба равна 
до секущей плоскости и угол между плоскостью нижнего основания и секущей плоскостью.
с прямой 
.
, образованная отсечением от равнобедренного 
его вершины 
, параллельным 
. Перейдем к необходимым вычислениям. Так как 
, то 
, откуда 
. Следовательно, 
, 
и 
. Поскольку 
, то 
, 
и 
. Отсюда находим периметр сечения:
.
является высотой 
и 
), поэтому 
. Теперь легко найти площадь сечения:
.
: 
. С другой стороны, если 
- перпендикуляр, опущенный из вершины куба 
, поэтому можно найти расстояние от вершины 
.
:
, откуда получаем отношение объмов двух частей, на которые делится куб секущей плоскостью:
.
- это линейный угол двухгранного угла, образованного плоскостью нижнего основания куба и секущей плоскостью, а 
, то находим угол между плоскостью нижнего основания и секущей плоскостью:
. #
с ребром, равным 
дм. На продолжении ребра 
за точку 
дм. Через точку 
и 
проведена плоскость. Найдите периметр и площадь полученного сечения, а также расстояние от точки 
до секущей плоскости и угол между плоскостью верхнего основания и этой плоскостью. В каком отношении делит объем куба секущая плоскость?
? Найдите площадь и периметр полученного сечения (длина ребра куба равна 
плоскость, проходящая через вершину 
и середины ребер 
и 
со стороной 
за точку 
дм. Через точку 
дм, а также расстояние от точки 
см и 
см через вершины 
и точку 
, проведена плоскость. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью?
имеет действительные решения.
, то 
и неравенство системы предстает в виде 
. Оно, а значит и сама система, действительных решений не имеет. Следовательно, 
. Тогда 
и неравенство можно переписать в виде: 
. Далее рассмотрим два случая.
. Тогда
.
:
.
будет интервал
. По условию задачи этот интервал должен содержать хотя бы одну точку 
. Так как 
, то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда
. Тогда
.
будет интервал
, то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда
- корни уравнения 
. #
:
действительных чисел, для каждой из которых равенство 
верно для всех положительных чисел 
, 
и 
. Получим, соответственно, три равенства:
, возведя в квадрат первое равенство и перемножив второе и третье:
и 
. Осталось лишь убедиться, что при этих значениях параметров 
. Это действительно так, поскольку при 
. #
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
верно равенство: 
; 9) 
; 10) 
.
; 12) 
; 13) 
.
с вершиной 
и 
