ИГРЫ С ПРИРОДОЙЦель: научиться методам принятия решений в условиях неопределенности и риска (такие математические модели называются Играми с природой) на ЭВМ с использованием критериев Лапласа, Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица. Рассмотрим ситуацию, когда лицо принимающее решение (ЛПР) может выбрать одну из n возможных альтернатив, которые обозначим A 1, A 2,..., A n, то есть выбирает наилучший вариант действий из имеющихся п возможных. Выигрыш для каждой альтернативы зависит от того, какой вариант развития ситуации произойдет. Пусть возможны m вариантов развития ситуации, которые обозначим S 1, S 2,..., S m. Существует несколько критериев, позволяющих выбрать оптимальноерешение в модели игры с природой. Сначала рассмотрим случай, когдапоказатель привлекательности (выигрыш ЛПР) максимизируется– «чем больше, чем лучше». Рассмотрим на примере способы решения такой задачи. ПРИМЕР 6.1. Директор финансовой компании проводит рискованную финансовую операцию. Страховая компания предлагает застраховать сделку и предлагает 4 варианта страховки: A 1, A 2, A 3, A 4. Компенсация ущерба для каждого варианта зависитот того, какой из возможных страховых случаев произошел. Выделяют5 видов страховых случаев: S 1, S 2, S 3, S 4, S 5.Компенсации (тыс. у.е.) для каждого вида страховки при каждом страховом случае составляют матрицу выигрышей вида:
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса (при вероятностях состояний исходов p 1 = 0, 3; p 2 = 0, 2; p 3= 0, 1; p 4= 0, 3; p 5 = 0, 1), Сэвиджа и Гурвица (при коэффициенте доверия α =0, 4). Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках для дальнейшего расчета согласно рис. 6.1:
Рисунок 6.1 Решение примера 6.1 Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим курсор в ячейку G2 и вводим формулу, усредняющую значения показателей привлекательности по первой альтернативе. Для этого вызываем мастер функций, нажимая на кнопку fx и выбираем вкатегории «Статистические» функцию «СРЗНАЧ», в качестве аргумента функции указываем ячейки B2: F2, обводя их курсором. Нажимаем ОК, видим результат 40, 2. Автозаполняем ячейки G2-G5, перетаскивая нижний правый уголок ячейки G2. Видно, что наибольшая функция полезности 40, 4 для альтернативы А3. Вводим в G6: «А3». Для критерия Вальда вычисляем наименьшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в Н2функцию МИН с аргументами B2: F2: «=МИН(B2: F2)» (кавычки невводить!).Автозаполняем на Н2-Н5. Выбираем альтернативу, где результат наибольший. Это значение 37 для альтернативы А2, вводим вН6: «А2». Для критерия Байеса функции полезности равны суммам выигрышей, умноженным на вероятности их исходов. Вводим в I2 формулу: «=В2*0, 3+C2*0, 2+D2*0, 1+E2*0, 3+F2*0, 1», автозаполняем на I2-I5. Выбираем альтернативу с наибольшей функцией полезности, то есть А4, вводим в I6: «А4». Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого ставим курсор в ячейку В8 и вводим формулу«=МАКС(B$2: B$5)-B2», автозаполняем результат на ячейки В8-F11. Далее находим максимальный риск для каждой альтернативы. Дляэтого ставим курсор в ячейку J2 и вводим «=МАКС(B8: F8)», автозаполняемрезультат на J2-J5. Выбираем альтернативу с минимальным риском, это А3. Вводим в J6: «А3». Для критерия Гурвица нужно наибольшее значение каждойальтернативы умножить на α (по условию α = 0, 4), наименьшее на(1- α) и результаты сложить. Вводим в К2 формулу: =МАКС(B2: F2)*0, 4+МИН(B2: F2)*0, 6 и автозаполняем результат на К2-К5. Выбираем альтернативу с наибольшей функцией полезности. Это А3, вводим К6: «А3». Задача решена. Рассмотрим теперь метод решения задачи в случае минимизации критерия – «чем меньше, тем лучше». ПРИМЕР 6.2. Фермер, имея в аренде большие площади под посев кукурузы, заметил, что влажности почвы в сезон созревания кукурузы недостаточно, чтобы получить максимальный урожай. Эксперты советовали фермеру провести дренажные каналы в период концавесны – начала лета, что должно значительно повысить урожай. Былипредложены 5 проектов дренажных каналов: A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, затраты на которые зависят от погодных условий в период весна – лето. Возможны варианты: S 1– дождливая весна и дождливое лето; S 2 –дождливая весна и сухое лето; S 3 – сухая весна и дождливое лето; S 4 –сухая весна и сухое лето. Матрицазатратимеетвид:
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p 1 = 0, 2; p 2 = 0, 3; p 3 = 0, 3; p 4 = 0, 2, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия α = 0, 7. Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках для дальнейшего расчета согласно рис. 6.2:
Рисунок 6.2 Решение примера 6.2 Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим курсор в ячейку F2 и вводим формулу: «=СРЗНАЧ(В2: Е2)», автозаполняем на F2-F6. Наилучшей в данномслучае считается альтернатива с минимальной функцией полезности, это А2. Вводим в F7: «А2». Для критерия Вальда вычисляем наибольшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в G2функцию «=МАКС(B2: E2)», автозаполняем на G2-G6. Выбираем альтернативу, где результат наименьший, вводим в G7: «А2». Для критерия Байеса функция полезности вычисляется так жекак и для предыдущего примера (но для 4-х состояний природы), вячейку Н2 формулу «=B2*0, 2+C2*0, 3+D2*0, 3+E2*0, 2», автозаполняемна Н2-Н6. Выбираем альтернативу с наименьшей функцией полезности, это А1, вводим в Н7: «А1». Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков.Для этого ставим курсор в ячейку В9 и вводим формулу«=B2-МИН(B$2: B$6)», автозаполняем результат на ячейки В9-Е13. Далее находим максимальный риск для каждой альтернативы. Дляэтого ставим курсор в ячейку I2 и вводим «=МАКС(B9: E9)», автозаполняем результат на I2-I6. Выбираем альтернативу с минимальным риском, таких альтернатив две, это А1 и А4. Вводим в I7: «А1, А4». Для критерия Гурвица нужно наименьшее значение каждойальтернативы умножить на α (по условию α = 0, 7), наибольшее на(1– α) и результаты сложить. Вводим в J2 формулу: = МИН(B2: E2)*0, 7+МАКС(B2: E2)*0, 3 и автозаполняем результат на J2-J6. Выбираем альтернативу с наименьшей функцией полезности. Это А1, вводим J7: «А1». Задача решена. Задание 6.1. Директор торговой фирмы, продающей телевизоры, решил открыть представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения: A 1, A 2, A 3, A 4, A 5. Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Экспертывыделяют 4 возможных варианта развития ситуации S 1, S 2, S 3, S 4. Прибыль фирмы для каждой альтернативы при каждой ситуациипредставлена матрицей выигрышей aij (млн. р./год).
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p 1 = 0, 4; p 2 = 0, 3; p 3 = 0, 1; p 4 = 0, 2, Сэвиджа иГурвица при коэффициенте доверия α = 0, 6. Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта. Задание 6.2. Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды S 1, S 2, S 3, S 4, S 5. Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p 1 = 0, 1; p 2= 0, 2; p 3= 0, 3; p 4= 0, 2; p 5 = 0, 2, Сэвиджа и Гурвица при α = 0, 6. Матрица затрат имеет вид:
Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.
|
