Как видим, при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения

 

Рис. 4.6.

Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 4.5 справа.

В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, расположенных у поверхности стержня.

Зная закон распределения касательных напряжений, легко определить их из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

 

(4.4)

 

где - элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадке dA.

Подставив в (4.4) значение напряжений из формулы (4.3), получим

. (4.5)

Имея в виду, что

 

(4.6)

 

где - полярный момент инерции сечения, получим

(4.7)

 

Подставляя значение в формулу (4.3), имеем

 

(4.8)

 

Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид

 

(4.9)

 

Как видно из этой формулы, в точках одинаково удаленных от центра сечения, напряжения одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения:

 

(4.10)

 

(4.11)

 

Геометрическая характеристика W_p называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

(4.12)

 

здесь - допускаемое касательное напряжение.

Кроме проверки прочности по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах.

Имея в виду, что для круглого сплошного сечения W_p = 0, 2d³, получаем

(4.13)

 

Допускаемый из условия – прочности крутящий момент определяют по формуле

 

(4.14)