Момент инерции при параллельном переносе осей

 

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Пусть дана произвольная плоская фигура, площадь которой А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси х будет Ix. Вычислим момент инерции фигуры относительно оси параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а (рис. 3.4):

(3.12)

 

Первое слагаемое правой части есть момент инерции фигуры относительно оси х, т.е. Ix; второе слагаемое содержит статический момент площади относительно оси х, а он равен нулю, так как ось х - центральная; третье слагаемое после интегрирования будет равно а²А.

В результате получим

 

. (3.13)

 

Нужно помнить то обстоятельство, что последней формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей - центральная.

Анализируя выведенную формулу, можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси.

 

Рис. 3.4

Выведем формулу для вычисления момента инерции прямоугольника относительно оси х_{1 ,} проходящей через основание:

(3.14)