Измерение диэлектрической проницаемости

При измерении скалярной диэлектрической проницаемости необходимо обеспечить отсутствие вырождения рабочего вида колебаний. В цилиндрическом резонаторе все виды колебаний с индексом невырожденые. Для измерения сравнительно малых значений диэлектрической проницаемости используется вид колебаний . При этом образец помещается на оси резонатора в максимуме электрического поля и оказывает существенное влияние на параметры резонатора. Задача определения диэлектрической проницаемости и угла потерь сводится к решению уравнений электромагнитного поля для цилиндрического резонатора и учету влияния на это поле исследуемого образца диэлектрика. Измеряемыми величинами являются резонансная частота и добротность пустого резонатора , резонансная частота и добротность резонатора при введенном в резонатор исследуемом образце.

Из теории малых возмущений (см. прил. 1) известно, что

где – изменение частоты при внесении диэлектрика; – отличие относительной диэлектрической проницаемости вносимого диэлектрика от проницаемости среды , заполняющей объем резонатора ; – объем диэлектрика.

Выражение для запасенной в резонаторе энергии имеет вид

Добротность пустого резонатора определяется известной формулой

где – мощность потерь в резонаторе. При внесении образца диэлектрика в резонатор его добротность изменяется за счет небольших изменений и , так что добротность резонатора с образцом будет иметь вид:

Используя выражения (1.18) и (1.19) и предполагая, что и , что справедливо, если объем внесенного диэлектрика значительно меньше объема резонатора, получим формулу изменения добротности резонатора

где – изменение мощности потерь за счет внесения диэлектрика.

В цилиндрическом резонаторе при использовании основного, наиболее низкочастотного, вида колебаний (рис. 1.2) электрическое поле имеет только продольную компоненту:

где – функция Бесселя нулевого порядка; – волновое число; – длина; волны рассматриваемого вида колебания; – расстояние от оси резонатора до точки наблюдения. В соответствии с (1.21) электрическое поле имеет в центре резонатора максимальную напряженность , определяемую подводимой от генератора мощностью, и принимает нулевое значение на стенке резонатора .

Поместив вдоль продольной оси такого резонатора образец диэлектрика в виде тонкого цилиндрического стержня радиуса и высотой (рис. 1.2), считаем, что при выполнении условия

поле в образце остается однородным. Выполняя интегрирование числителя и знаменателя формулы, и используя соотношение , получим следующие выражения:

где и объемы внесенного образца диэлектрика и резонатора, соответственно. Для резонатора с воздушным заполнением . Подставив значения интегралов и в формулу, учитывая, что и решая полученное уравнение относительно , найдем:

Формула позволяет определить диэлектрическую проницаемость образца по результатам измерений резонансных частот пустого резонатора и резонатора с внесенным образцом .

Если внесение исследуемого образца приводит к значительному изменению частоты, то существует возможность уменьшить это изменение, сместив образец в сторону от оси резонатора. Формула для диэлектрической проницаемости при смещении диэлектрика от продольной оси принимает вид:

где – коэффициент уменьшения поля, – расстояние от оси резонатора до точки, в которой укреплен образец. При таких положениях образца возрастает погрешность измерения за счет ошибки определения коэффициента , которая возрастает при увеличении расстояния от оси до оси образца.

Другим способом уменьшения ухода частоты является уменьшение высоты образца. При исследовании образцов с следует иметь в виду, что поле резонатора искажается тем больше, чем выше значение диэлектрической проницаемости образца. В этом случае теория малых возмущений, использованная при выводе формулы, оказывается неприменимой, что ограничивает возможность использования метода при исследовании диэлектриков с . Следует заметить, что наиболее точные результаты получаются при использовании образцов, длина которых равна высоте резонатора.

Уменьшение ухода частоты достигается также уменьшением радиуса образца, что, однако, сопряжено с трудностями изготовления измеряемого образца и увеличением погрешностей, обусловленных качеством обработки образца.

Для получения формулы, связывающей параметры цилиндрического резонатора с тангенсом угла потерь исследуемого диэлектрика , воспользуемся выражением. Потери в цилиндрическом образце, расположенном по оси резонатора, могут быть представлены в виде:

Используя выражение для энергии, запасенной в резонаторе, получим формулу для тангенса потерь :

Полученная формула для позволяет определить угол потерь исследуемых диэлектриков по измеренным значениям добротности резонатора без образца и добротности с образцом . Использование этой формулы допустимо для материалов с . При более высоких потерях в образце резонансная кривая резонатора с образцом сильно «расплывается» и сам метод малых возмущений перестает быть справедливым.

Точность измерения диэлектрической проницаемости зависит от погрешностей измерений всех величин, входящих в расчетную формулу, и может быть приблизительно оценена в 2…3 %, а точность определения – порядка 10 %. При этом основная ошибка вносится неточностью определения диаметра образца и добротности резонатора.

Цилиндрические резонаторы с колебаниями типа не позволяют исследовать материалы с высокими значениями проницаемости и потерь, так как требуемое для исследований расположение образца в максимуме электрического поля приводит к значительным изменениям параметров резонатора. Например, на длине волны 1 см максимальный радиус образца с не должен превышать 0, 1 мм, что практически невыполнимо, учитывая необходимую точность изготовления образца.

Применение цилиндрических резонаторов с колебаниями типа позволяет исследовать образцы со сравнительно высокими потерями и значительно большего диаметра без опасности существенного возмущения поля. На рис. 1.3 изображено распределение полей в цилиндрическом резонаторе, возбужденном на волне типа , с образцом внутри. Единственная составляющая электрического поля для этого типа колебаний может быть записана в виде

где – высота резонатора; – значение первого корня функции Бесселя первого рода первого порядка. Вблизи оси резонатора электрическое поле близко к нулю, поэтому его возмущение образцом невелико.

Проводя интегрирование числителя и знаменателя уравнения для измененной частоты при внесенном диэлектрическом образце и применяя рекуррентную формулу

,

получаем формулу для диэлектрической проницаемости цилиндрического образца, ось которого совпадает с продольной осью резонатора:

где

Формулу для вычисления исследуемого материала можно получить, используя соотношения, и. При внесении образца в резонатор изменяется мощность потерь в резонаторе и величину этого изменения можно записать следующим образом:

Энергия, запасенная в резонаторе, определяется следующим выражением:

Подставляя полученные выражения для и в формулу и используя числовой коэффициент из, после необходимых преобразований получим:

Последнее выражение позволяет получить формулу, связывающую параметры цилиндрического резонатора с тангенсом угла потерь исследуемого диэлектрика.