Расчет временных параметров сетевого графика
В таблице 59 приведены основные временные параметры сетевых графиков. Рассмотрим содержание и расчет этих параметров. Начнем с параметров событий. Ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-го события определяется Продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:
где Ln - любой путь, предшествующий i-у событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети. Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:
Поздний (или предельный) срок tn(i) свершения i-го события равен:
где Lci, -- любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.
Таблица 59 - Основные временные параметры сетевых графиков
Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:
Резерв времени R(i) i -го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:
Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. Критические события не имеют резервов времени, т.к. любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию. Определим, например, временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис.4. Результаты расчета временных параметров можно фиксировать прямо на графике. В этом случае параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ — над соответствующими стрелками (рисунок 3). В этом случае отпадает необходимость составления таблиц. При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1)и (2). Для i =1 (первого события). Очевидно tp(i) =0.
Рисунок 3 — Расположение временных параметров непосредственно на сетевом графике.
Для i = 2 t p (2)= t p (1) + t (0, 2) = 0 + 5 = 5 (суток), т.к. для события 2 существует только один предшествующий путь
Для i = 3 t p (3)= t p (1) + t (1, 3) = 0 + 8 = 8 (суток), т.к для события 3 существует только один предшествующий путь Ln3: 1 Для i = 4 t p (4)= t p (2) + t (2, 4) = 5 + 9 = 14 (суток),, т.к. для события 4 существует один предшествующий путь Ln4: 1 Для i = 5 t p (5)=max{ t p (1) + t (1, 5); t p (2) + t (2, 5); t p (3) + t (3, 5)}=max{0+8; 5+3; 8+4}= =max{8; 8; 12}=12 (суток), т.к. для события 5 существует три предшествующих пути Е,,: 1 — 5, 1 -+2 —+5 и 1 +З -+5 и три предшествующих события. Аналогично рассчитаем ранние сроки свершения остальных событий и запишем их в левой части каждого кружка сетевого графика (рисунок 4).
Рисунок 4 — Сетевой график с временными параметрами
Длина критического пути равна раннему сроку свершении завершающего события 10: tkp=tp(10) = 34 (суткам). При определении поздних сроков свершения событий t n (i) двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево и используем формулы (3) и (4). Для i =10 (завершающего события) поздний срок свершения события должен быть равен его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t n (10) = tp(10) = 34 (суток). Для i = 9 t n (9) = t n (10) — t (9, 10) = 34—7 = 27 (суток), так как для события 9 существует только один последующий путь Lс9: 9 Для i =8 t n (8) = t n (10) — t (8, 10) =34—11 = 23(суток), так как для события 8 существует только один последующий путь Lс8: 8 Для i =7 t n (7) = min{ t n (8)— t (7, 8); t n (19) — t (7, 9); t n (10) — t (7, 10)} = = min{22, 23, 28) = 22 (суток), т.к. для события 7 существует три последующих пути Lс7: 7 По формуле (5) определим резервы времени i -го события: R(1) = 0; R(2) = 7 —5 = 2; R(3) = 8— 8 = 0 и т.д. Резерв времени события 2 - R(2) = 2 — означает, что время свершения события 2 может быть задержано на двое суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя сетевой с временными параметрами (рис.4) видим, что не имеют резервов времени события 1, 3, 5, 6, 8, 10. Эти события и образуют критический путь (на рисунке 4 он выделен жирным шрифтом). Перейдем к параметрам работ. Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале. Очевидно, что ранний срок tрн(i, j) начала работы (i, j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, т.е. t рн(i, j)=tp(i) (6) Тогда ранний срок t ро, окончания работы (i, j) определяется по формуле: t ро(i, j)=tp(i) + t (i, j) (7) Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j. Поэтому поздний срок t nо(i, j) окончания работы (i, j) определяется соотношением: tnо(i, j)=tn (j), (8) а поздний срок tnн (i, j) начала этой работы соотношением tnн (i, j)=t п (j) - t (i, j) (9) Среди резервов времени работ выделяют четыре их разновидности. Полный резерв времени Rn(i, j) работы (i, j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв Rn(i, j) определяется по формуле: Rn(i, j) = tп (j) - tp (i) - t (i, j) (10)
Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и возможно допустить свершение ее конечного события в его самый поздний срок. Остальные резервы времени работы являются частями полного ее резерва. Частный резерв времени первого вида R1(i, j) работы (i, j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки R1(i, j) находится по формуле: R1(i, j) = tп (j) – tп (i) - t (i, j), (11) Или R1(i, j) = Rп (i, j) - R(i) (12) Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rс(i, j) работы (i, j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Эти резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки. Rс(i, j) находится по формуле: Rс(i, j) = tр (j) – tр (i) - t (i, j), (13) Или Rс(i, j) = Rп (i, j) - R(i), (14)
Независимый резерв времени R п работы (i, j) есть часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки: R н (i, j) = tр (j) – tп (i) - t (i, j), (15) или R н (i, j) = Rп (i, j) - R(i) - R(j) (16) Примечание — Резервы времени работы (i, j) могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работ t (i, j) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая формулой (15) или (16), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Отрицательное значение R н (i, j) не имеет реального смысла, т.к. в этом случае предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события. Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих и последующих работ, свободный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы. Работы, лежащие на критическом пути, также как и критические события, резервов времени не имеют. Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути. R(L)= tkp – t (L) (17) Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличен продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее, чем R(L), то критический путь переместится на путь L. Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, несовпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени. Вычислим в качестве примера временные параметры работ, для рассматриваемого сетевого графика (рисунок 4). Результаты расчетов сведем в таблицу 60. Вычисление временных параметров работы (i, j) покажем на примере работы (2, 4): ранний срок начала работы (по формуле (6)) tрн (2, 4) = tр (2) = 5 (суток); ранний срок окончания работы (по формуле (7)): t ро(2, 4) = t р(2) + t (2, 4) = 5 + 9 = 14 (суток); поздний срок начала работы по формуле (9): tпн (2, 4)= tп (4) - t (2, 4) = 16 - 9 = 7 (суток); поздний срок окончания работы (по формуле (8)): tпо (2, 4) = tп (4)= 16 (суток). Таким образом, работа (2, 4) должна начаться в интервале [5; 7] (суток) от начала выполнения проекта. Полный резерв работы (2, 4) (по формуле (10)): Rn(2, 4) = tп (4) - tp (2 ) - t (2, 4) = 16-5-9=2 (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на двое суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится. Частный резерв времени работы (2, 4) первого вида определим по формуле (11) (или по формуле (12)): R1(2, 4) = tп (4) – tп (2 ) - t (2, 4)=16-7-9=0 (суток) (или R1(2, 4) = Rп (2, 4) - R(2 ) = 2 - 2 = 0 (суток)), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2, 4) и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени одной предшествующей работы (1, 2)). Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (2, 4) найдем по формуле (13) или (14): Rс(2, 4) = tр (4) – tр (2 ) - t (2, 4) = 14 – 5 – 9 = 0 (суток); (или Rс(2, 4) = Rп (2, 4) - R(2)= 2 - 2 = 0 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2, 4) (в данном случае работы (1, 2)) без нарушения резерва времени последующих работ. Независимый резерв времени работы (2, 4) определим по формуле (15) или (16): R н (2, 4) = tр (4) – tп (2 ) - t (2, 4) = 14 – 7 - 9 = -2.
Это означает, что работа (2, 4) продолжительностью 9 (суток) должно закончиться на 14-е сутки после начала комплекса работ, а начаться на 7-е сутки, что естественно невозможно. поэтому в таблице 60 обозначим прочерком независимые резервы времени, имеющие отрицательное значение. Подчеркнем, что резервы критических работ (1, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 8), (8, 10), также как и резервы критических событий, равны нулю.
Таблица 60 — Временные параметры работ для сетевого графика (рисунок 4), сутки
|
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
: 1 
2.
10.
