Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

. (4.5)

Т.е. величина есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка :

. (4.6)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т.е. .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение E) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

– зона неопределенности;

– нет оснований отклонять , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

– зона неопределенности;

– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты заносим в таблицу:

 

 

Таблица 4.11

		-5, 252	–	–	27, 584
		-35, 843	-5, 252	935, 8093	1284, 7
		-74, 183	-35, 843	1469, 956	5503, 1
		48, 937	-74, 183	15158, 53	2394, 8
		-26, 946	48, 937	5758, 23	726, 09
		60, 464	-26, 946	7640, 508	3655, 9
		45, 124	60, 464	235, 3156	2036, 2
		50, 244	45, 124	26, 2144	2524, 5
		2, 361	50, 244	2292, 782	5, 574
		-59, 229	2, 361	3793, 328	3508, 1
		41, 431	-59, 229	10132, 44	1716, 5
		-68, 450	41, 431	12073, 83	4685, 4
		69, 668	-68, 45	19076, 58	4853, 6
		36, 078	69, 668	1128, 288	1301, 6
		-34, 263	36, 078	4947, 856
		-50, 143	-34, 263	252, 1744	2514, 3
Сумма	-0, 002	50, 141	84921, 85	37911, 97

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели составляет:

.

Сформулируем гипотезы: – в остатках нет автокорреляции; – в остатках есть положительная автокорреляция; – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости . По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых параметров модели (мы рассматриваем только зависимость от времени ) критические значения и . Фактическое значение -критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал (1, 37< 2, 24< 2, 63). Следовательно, нет основания отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака.

2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

 

Приложение A [5]