Производная скалярного поля по направлению. Градиент
Как уже отмечалось, числовые функции нескольких переменных при анализе физических проблем часто называют скалярными полями (поле температур, давлений, электростатического потенциала и т.д.) Рассмотрим скалярное поле и проследим за тем, как оно изменяется в окрестности произвольной точки по выбранному направлению (рис.4.20.1). Для этого введем вектор , сонаправленный с . Будем считать, что точка имеет координаты: x + D x, y + D y, z + D z, тогда Запишем полное приращение функции: D u = f (x +D x, y +D y, z +D z)– – f (x, y, z). Если рассматриваемая функция является дифференцируемой, то согласно формуле Тейлора (4.20.1) Величина (4.20.2) называется производной скалярного поля по направлению вектора . Она характеризует скорость изменения функции по рассматриваемому направлению. Для вычисления предела (4.20.2) разделим (4.20.1) на D l и учтем, что в силу условия D = l имеем равенства Поэтому при D l получим формулу для вычисления производной (4.20.3)
Вектор (4.20.4) называется градиентом11 скалярного поля в рассматриваемой точке М (x, y, z). Если ввести вектор , то из (4.20.3) следует, что Таким образом, производная скалярного поля по направлению равна проекции градиента на это направление: (4.20.5) Выясним теперь, как направлен градиент. Для этого введем так называемые поверхности уровня, т.е. поверхности, на которых значение рассматриваемой функции постоянно: f (x, y, z) = C (4.20.6) (вспомните знакомые из физики изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т.д.). Ранее отмечалось, что уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке имеет вид Если уравнение поверхности задано в неявном виде и оно определяет функцию , то вместо нужно подставить ; Тогда
или окончательно (4.20.7) Уравнение касательной плоскости к поверхности (4.20.6), очевидно, должно совпадать с (4.20.7), так как наличие константы в правой части (4.20.6) не изменит рассматриваемых частных производных. Поэтому вектор grad u направлен по нормали к поверхности уровня (4.20.6) (нормальный вектор к плоскости (4.20.7) имеет вид и совпадает с grad u (4.20.4)). Таким образом, градиент обладает следующими свойствами (рис. 4.20.2): 1) направлен по нормали к поверхности уровня; 2) производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление. 10 Точка перегиба считается расположенной на самой кривой в отличие от точки экстремума, расположенной на оси абсцисс. Сама кривая считается гладкой, т.е. направление касательной на ней изменяется непрерывно (проанализировать понятие гладкости кривой самостоятельно). 11 [1] gradiens (лат.) – шагающий, идущий
|