Производная скалярного поля по направлению. Градиент

 

Как уже отмечалось, числовые функции нескольких переменных при анализе физических проблем часто называют скалярными полями (поле температур, давлений, электростатического потенциала и т.д.)

Рассмотрим скалярное поле и проследим за тем, как оно изменяется в окрестности произвольной точки по выбранному направлению (рис.4.20.1). Для этого введем вектор , сонаправленный с .

Будем считать, что точка имеет координаты:

x + D x, y + D y, z + D z, тогда

Запишем полное приращение функции:

D u = f (x +D x, y +D y, z +D z)–

– f (x, y, z).

Если рассматриваемая функция является дифференцируемой, то согласно формуле Тейлора

(4.20.1)

Величина

(4.20.2)

называется производной скалярного поля по направлению вектора . Она характеризует скорость изменения функции по рассматриваемому направлению.

Для вычисления предела (4.20.2) разделим (4.20.1) на D l и учтем, что в силу условия D = l имеем равенства

Поэтому при D l получим формулу для вычисления производной

(4.20.3)

 

Вектор

(4.20.4)

называется градиентом11 скалярного поля в рассматриваемой точке М (x, y, z).

Если ввести вектор , то из (4.20.3) следует, что

Таким образом, производная скалярного поля по направлению равна проекции градиента на это направление:

(4.20.5)

Выясним теперь, как направлен градиент. Для этого введем так называемые поверхности уровня, т.е. поверхности, на которых значение рассматриваемой функции постоянно:

f (x, y, z) = C (4.20.6)

(вспомните знакомые из физики изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т.д.).

Ранее отмечалось, что уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке имеет вид

Если уравнение поверхности задано в неявном виде и оно определяет функцию , то вместо нужно подставить

;

Тогда

или окончательно

(4.20.7)

Уравнение касательной плоскости к поверхности (4.20.6), очевидно, должно совпадать с (4.20.7), так как наличие константы в правой части (4.20.6) не изменит рассматриваемых частных производных. Поэтому вектор grad u направлен по нормали к поверхности уровня (4.20.6) (нормальный вектор к плоскости (4.20.7) имеет вид

и совпадает с grad u (4.20.4)).

Таким образом, градиент обладает следующими свойствами (рис. 4.20.2):

1) направлен по нормали к поверхности уровня;

2) производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление.

10 Точка перегиба считается расположенной на самой кривой в отличие от точки экстремума, расположенной на оси абсцисс. Сама кривая считается гладкой, т.е. направление касательной на ней изменяется непрерывно (проанализировать понятие гладкости кривой самостоятельно).

11 [1] gradiens (лат.) – шагающий, идущий