Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Переменных





 

Введем новый тип экстремумов. Для этого рассмотрим целевую функцию , для которой x и y будем считать связанными функциональной зависимостью j(x, y) = 0.

 
 

Геометрический смысл такой ситуации по казан на рис. 22.1, из которого ясно, что в этом случае можно рассматривать новый тип экстремальной задачи: найти точку (), лежащую на кривой j (x, y) = 0, в которой функция принимает максимальное (минимальное) значение. Такого рода экстремумы называют условными экстремумами.

Если уравнение j (x, y) = 0 разрешить относительно y, то поиск условного сведется к поиску обычного экстремума для функции . Однако такая процедура часто бывает нерациональной или невозможной. Поэтому для поиска условных экстремумов был разработан специальный алгоритм – метод множителей Лагранжа, который мы сейчас рассмотрим.

Продифференцируем как сложную функцию, помня, что :

Отсюда с помощью необходимого условия экстремума получаем

(4.22.1)

С другой стороны, х и у связаны функциональной зависимостью , с помощью которой находим

(4.22.2)

Сравнивая производные (4.22.1) и (4.22.2), получаем равенство

равносильное системе двух уравнений

(4.22.3)

относительно неизвестных х, у, l.

Введем так называемую функцию Лагранжа:

F (x, y, l) =f (x, y) +lj (x, y). (4.22.4)

Тогда необходимые условия экстремума для (4.22.4)

 

 
 

приводят нас к уравнениям (4.22.3) и условию j (х, у) = 0. Решая эти три уравнения, мы найдем точку условного экстремума.

Таким образом, с помощью функции Лагранжа задача о поиске условного экстремума сводится к задаче о локальных экстремумах для функции Лагранжа.

Для общего случая, когда z = f ,

функция Лагранжа строится по аналогии с (4.22.4):

П р и м е р

Найти кратчайшее расстояние от начала координат до кривой .

Целевая функция здесь имеет вид . Составляем функцию Лагранжа

,

а затем записываем необходимые условия локального экстре­мума:

(4.22.5)

Используя первые два уравнения системы (4.22.5), находим

.

Подставляем это выражение в последнее уравнение системы (4.22.5)

Интерпретация полученных результатов ясна из рис. 4.22.2: в первой точке целевая функция достигает максимума, а во второй – миниму­ма, причем

;

Достаточные условия условного экстремума используются очень редко и в нашем курсе не рассматриваются.

Задание для самостоятельного решения

1. Найти экстремумы функции z = x 3при условии

2. Найти экстремумы функции z = xy при условии 2 х+ 3 у= 1.







Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 380. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия